Lie Algebra Representation, Conservation Laws and Some Invariant Solutions for a Generalized Emden-Fowler Equation

Representación del álgebra de Lie, leyes de conservación y algunas soluciones invariantes para una ecuación de Emden-Fowler generalizada

Se muestran todos los generadores del álgebra óptima asociados con una generalización de la ecuación de Endem-Fowler; algunos de ellos permiten dar soluciones invariantes. También se muestran las simetrías variacionales y las respectivas leyes de conservación. Finalmente, se muestra una representación del álgebra de simetría de Lie mediante grupos de matrices.

1INTRODUCCIÓN

Se sabe que la clase de ecuaciones de Emden-Fowler yxx = Axⁿy^m, tales que A,m,n son constantes reales, tienen aplicaciones en física, astronomía y química [1],[2],[3],[4]. En [5] Polyanin y Zaitsev presentan una ecuación de Emden-Fowler generalizada y_xx = Axⁿy^m(y_x)^lcon A,m,n,l constantes reales. Propusieron para esta ecuación una gran cantidad de soluciones para múltiples combinaciones de los parámetros A,n,m,l. En el caso particular en que A=-2,n= 1,m=-2 y l= 3, es decir,

​$y_{xx}=-2x{y}_x^3{y}^{-2},$     (1)

en [5], se propone una solución implícita parametrizada para τ, como sigue:

​$x=\tau (c1{\tau }^{\nu }+c2{\tau }^{-\nu }),\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}y={\tau }^2,\nu =3,$     (2)

donde c₁, c₂ son constantes arbitrarias. El grupo de simetría de Lie asociado a esta ecuación es presentado por Arrigo en [6], sin embargo, los cálculos utilizados para obtener este resultado no se dan en detalle (dicho grupo de simetría de Lie es un grupo de Lie de 8 dimensiones). En [6] también se redujo (1) mediante el método de transformación de variable canónica con tres de estas simetrías, que son específicamente:

​$-{\Pi }_2=-\frac{x^2}{y^2}\frac{\partial }{{\partial }_x}+\frac{x}{y}\frac{\partial }{{\partial }_y},{\Pi }_5=x\frac{\partial }{{\partial }_x}+2y\frac{\partial }{{\partial }_y},{\Pi }_9=y\frac{\partial }{{\partial }_y}.$

Estas simetrías nos permiten obtener las correspondientes transformaciones de (1):

1. rs′′(r) + 2s′(r) = 0 con x $={\frac{r^2}{3s(r)}}^{1/3}$ y $y=(3rs(r){)}^{\frac{1}{3}}$​ ,

2. r²s′′(r) +r²(s′(r))²−2 = 0 con x=e^s y y=r,

3. s′′(r) + 2r(s′(r))³+ (s′(r))²= 0 con x=r y y=e^s.

Dado que el grupo de simetría de (1) es un grupo de 8 dimensiones y siguiendo las ideas de citas [7],[8],[9], buscamos sus características algebraicas y algunas soluciones invariantes de (1).  De hecho, el objetivo de este trabajo es: i) calcular el grupo de simetría de Lie de 8 dimensiones con todo detalle, ii) presentar el álgebra óptima (sistema óptimo) para (1), iii) utilizar algunos elementos del álgebra óptima para proponer soluciones invariantes para (1), iv) construir la Lagrangiana con la que podríamos determinar las simetrías variacionales y así presentar leyes de conservación asociadas, y finalmente iv) clasificar el álgebra de Lie asociada a (1) por grupos de matrices.