Ubicación óptima de reserva en un sistema serie con respecto al orden de tasa de fallo

Optimal reserve location in a systemerie with respect to failure rate order

En este trabajo se estudia el problema de ubicar K reservas activas, cuyos tiempos de vida son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas a las componentes de un sistema serie; con el objetivo de optimizar la función de tasa de fallo del sistema. A diferencia del trabajo de Singh y Singh, esta presentación obtiene los mismos resultados a partir de técnicas más elementales.

Introducción

En trabajos recientes en probabilidad aplicada los órdenes estocásticos han adquirido gran importancia, pues permiten comparar sistemas y determinar las estructuras y configuraciones óptimas desde el punto de vista de estos órdenes. En [2], [3] y [5] se examina de manera amplia los órdenes estocásticos y sus aplicaciones a otras ciencias como la estadística, la biología y la economía.

Una reserva pasiva es aquella que permanece en espera hasta que se requiera su operación para sustituir algún componente o sistema que haya fallado. Una reserva activa (o paralelo) es la que opera conjuntamente con un componente o sistema. El estudio de sistemas con reservas activas conlleva a la consideración del máximo de variables aleatorias.

Recordemos alguna terminología y notación que se utilizará en el desarrollo de este trabajo.

Sea X una variable aleatoria no negativa. F (x), f (x), F (x) denotarán respectivamente, la función de distribución, la función de densidad y la función de supervivencia de la variable aleatoria X, r(x) = f(x)/F (x) es la tasa de fallo.

Sean X y Y dos variables aleatorias. Se dice que X es mayor que Y según el orden estocástico usual, lo cual se denota X ≥_st Y , si

P (X > t) ≥ P (Y > t),  −∞ < t < ∞ . (1)

Por otra parte, si r1(t) y r2(t) son las tasas de fallo correspondientes a las variables aleatorias X y Y , entonces X es mayor que Y según el orden de la tasa de fallo, lo cual se denota X ≥fr Y, si r1(t) ≤ r2(t), t ≥ 0 . (2)

Sea x = (x₁, x₂, ... , xm) un vector m-dimensional de componentes no negativas. La expresión x_[1] ≥ x_[2] ≥, ... , ≥ x[m] denota las componentes de x en orden decreciente. El vector x es mayorizado por el vector y = (y₁, ... , y_m) y lo denotamos por x ≺ y si