Properties and Applications of Extended Hypergeometric Functions

Propiedades y aplicaciones de Funciones Hipergeométricas Extendida

En este artículo estudiamos varias propiedades de las funciones hipergeométrica de Gauss extendida e hipergeométrica confluente extendida. Derivamos varias integrales, desigualdades y establecemos relaciones entre estas y otras funciones especiales. También mostramos que estas funciones ocurren naturalmente en la teoría de distribuciones estadísticas.

1 INTRODUCCIÓN

La función beta clásica, denotada por B (a, b), se define (véase Luke [1]) por la integral de Euler

​$B(a,b)={\int }_0^1{t}^{a-1}(1-t{)}^{b-1}dt,$

$=\frac{\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (a+b)},Re(a)>0,Re(b)>0.$     (1)

Sobre la base de la función beta, la función hipergeométrica de Gauss, denotada por F(a, b; c; z), y la función hipergeométrica confluente, denotada por Φ(b; c; z), para Re(c) > Re(b) > 0, se definen como (véase Luke [1]),​

​$F(a,b;c;z)=\frac{1}{B(b,c-b)}{\int }_0^1\frac{t^{b-1}(1-t{)}^{c-b-1}}{(1-zt{)}^a}dt,|arg(1-z)|<\pi ,$   (2)

y

​$\Phi (b;c;z)=\frac{1}{B(b,c-b)}{\int }_0^1{t}^{b-1}(1-t{)}^{c-b-1}exp(zt)dt.$     (3)

Utilizando las expansiones en serie de (1 - zt)^-a y exp (zt) en (2) y (3), respectivamente, las representaciones en serie de F(a, b; c; z) y Φ(b; c; z), para Re(c) > Re(b) > 0, se obtienen como

​$F(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(a{)}_{n}B(b+n,c-b)}{B(b,c-b)}\frac{z^n}{n!},|z|<1,$     (4)

y

​$\Phi (b;c;z)=\sum _{n-0}^{\infty }\frac{B(b+n,c-b)}{B(b,c-b)}\frac{z^n}{n!},$     (5)

respectivamente.

En 1997, Chaudhry et al. [2] extendieron la función beta clásica a todo el plano complejo introduciendo en el integrando de (1) el factor exponencial exp [- σ ⁄ t (1 - t)], con Re(σ) > 0.

Φ(b;c;z) =​