La φ−ecuación de Tricomi

Tricomi’s φ-equation

En este artículo se estudia una ecuación diferencial no lineal autónoma que modela el movimiento de un φ-péndulo amortiguado con forzamiento constante. En el caso disipativo se presentan dos resultados, por un lado, usando la aplicación de Poincaré y funciones de energía, se establece un criterio suficiente para determinar la existencia, unicidad y estabilidad asintótica de una solución periódica de segunda clase y por otro lado, se presenta un criterio con el que se estima analíticamente la cuenca de atracción de un equilibrio asintóticamente estable con ayuda del principio de invarianza de Lasalle. Mientras que en el caso conservativo se dan condiciones necesarias para que la imagen de la función periodo esté definida en un intervalo no acotado. Los resultados obtenidos en el caso disipativo son una generalización de los establecidos por Tricomi en el caso newtoniano.

1. INTRODUCCIÓN

La ecuación del péndulo forzado juega un papel muy importante en el desarrollo del análisis cualitativo de ecuaciones diferenciales no lineales, pues surge en forma natural en varias aplicaciones de ingeniería, ver [1,2] y por- que es un paradigma en la teoría del caos [3]. Una recopilación actualizada de resultados globales y algunos datos históricos se puede consultar en [4].

Más concretamente nuestro interés se centra en la ecuación del péndulo forzado de la forma:

​$x^{\prime \prime }+c{x}^{\prime }+asen(x)=b,$     (1)

donde b, a son constantes positivas y c es una constante no negativa, que se conoce como la ecuación de Tricomi, debido a los trabajos que él hizo sobre la sincronización de motores eléctricos [5,6]. Un cálculo sencillo muestra que (1) tiene dos, una o ninguna solución de equilibrio dependiendo si b < a, b = a o b > a respectivamente. Además, cuando b > a no existen órbitas heteroclinas, sin embargo, existe una solución periódica de segunda clase, es decir, una solución de la forma x(t) = ±t + ϕ(t) donde ϕ es una función 2π-periódica, estas soluciones también son conocidas como rotaciones. En los artículos [7,8] se estudia la existencia y estabilidad de rotaciones. De otro lado, si b ≤ a, existe c ₀(a, b) > 0 tal que si c > c ₀(a, b) entonces (1) tiene dos órbitas heteroclinas pero no rotaciones, mientras que si c ≤ c ₀(a, b) (1) tiene una rotación y una órbita heteroclina. Estimar c ₀(a, b) es un problema muy importante y delicado como los siguieren los trabajos [9,10].

La generalización de la ecuación (1) que se estudiará, y que en adelante se llamará la φ−ecuación de Tricomi, es:

​$(\phi (x^{\prime }){)}^{\prime }+c{x}^{\prime }+asen(x)=b,$     (2)

donde a > 0 , c, b ≥ 0, I, J son intervalos en R, 0 ∈ I, φ: I −→ J un difeomorfismo creciente tal que φ(0) = 0.