Nakayama Automorphism of Some Skew PBW Extensions

El automorfismo de Nakayama de algunas extensiones PBW torcidas

Sean R un álgebra Artin-Schelter regular y A=σ(R)〈x₁,...,x_n〉una extensión PBW torcida cuasi-conmutativa graduada sobre R. En este artículo se describe el automorfismo de Nakayama de Ausando el automorfismo de Nakayama del anillo de coeficientes R. También se calcula explícitamente el automorfismo de Nakayama de algunas extensiones PBW torcidas.

1 INTRODUCCIÓN

Existen dos nociones de automorfismos de Nakayama: una para álgebras de Calabi-Yau sesgadas y otra para álgebras de Frobenius. En este trabajo nos centramos en las álgebras de Calabi-Yau sesgadas, o lo que es lo mismo, en las álgebras regulares de Artin-Schelter en el caso de gradación conectada (Proposición 2.7). El automorfismo de Nakayama es uno de los invariantes homológicos importantes para las álgebras regulares de Artin-Schelter. Los automorfismos de Nakayama han sido estudiados por varios autores. Reyes, Rogalski y Zhang en [1] demostraron tres identidades homológicas sobre el automorfismo de Nakayama y dieron varias aplicaciones. Liu, Wang y Wu en [2] demostraron que si R es Calabi-Yau sesgado con el automorfismo de Nakayama ν entonces la extensión de Ore A=R[x;σ,δ] tiene un automorfismo de Nakayama ν ^j tal que ν^′|R=σ^-1ν y ν^′(x) =ux+b con u, b ∈ R y u invertible, los parámetros u y b son aún desconocidos. Zhu, Van Oystaeyen y Zhang calcularon los automorfismos de Nakayama de extensiones de Ore doblemente recortadas y de la extensión polinómica sesgada R [x;σ], dondeσ es un automorfismo de álgebra graduada de R en términos del determinante homológico. Lü, Mao y Zhang en [3] y [4] utilizaron el automorfismo de Nakayama para estudiar las acciones de grupo y las acciones del álgebra de Hopf en álgebras regulares de Artin-Schelter de dimensión global tres y calcularon explícitamente el automorfismo de Nakayama de una clase de álgebras regulares graduales conectadas de Artin-Schelter. Shen, Zhou y Lu en [5] describieron los automorfismos de Nakayama de productos tensoriales retorcidos de álgebras regulares de Artin-Schelter noetherianas. Liu y Ma en [6] dieron una fórmula explícita para calcular el automorfismo de Nakayama de cualquier extensión de Ore R[x;σ,δ] sobre un álgebra polinómica R=K[t₁,...,t_m] para un arbitrariom. En general, se sabe que los automorfismos de Nakayama son difíciles de calcular.

Las extensiones PBW oblicuas y las extensiones PBW oblicuas cuasicomutativas se definieron en [7] y son anillos no conmutativos de tipo polinómico definidos por un anillo y un conjunto de variables con relaciones entre ellos.