Generalized Bivariate Kummer-Beta Distribution

Distribución Kummer-beta bivariada generalizada

En este artículo se propone una nueva distribución beta bivariada basada en distribuciones hipergeométricas Humbert de segundo tipo. También Se derivan las representaciones de las densidades marginales, momentos marginales y productos, densidades condicionales y entropía.

1 INTRODUCCIÓN

Las distribuciones beta bivariadas han atraído aplicaciones útiles en varias áreas; por ejemplo, en la modelización de las proporciones de sustancias en una mezcla, las cuotas de marca, es decir, las proporciones de marcas de algún producto de consumo que son compradas por los clientes, las proporciones del electorado que vota al candidato en unas elecciones con dos candidatos y la dependencia entre dos parámetros de resistencia del suelo.  También se han utilizado ampliamente como priores en la estadística bayesiana. Las distribuciones beta bivariadas también se han aplicado a los datos de la sequía. En este artículo, introducimos una nueva distribución beta bivariante y estudiamos sus propiedades. La pdf conjunta de esta nueva distribución se toma como

​$f(x,y;a,b,c,{\lambda }_1,{\lambda }_2)=K(a,b,c,{\lambda }_1,{\lambda }_2)\times$

$x^{a-1}{y}^{b-1}(1-x-y{)}^{c-1}exp[-({\lambda }_{1}x+{\lambda }_{2}y)],(1)$

donde x >0, y >0, x+y <1, a >0, b >0, c >0, -∞ < λ_i<∞, i= 1,2 y K(a,b,c,λ₁,λ₂) es la constante normalizada dada por​

​$K(a,b,c,{\lambda }_1,{\lambda }_2)={B(a,b,c){\Phi }_2[a,b;a+b+c;-{\lambda }_1,-{\lambda }_2]}^{-1},(2)$

donde B (a,b,c) es la función beta de tres argumentos dada en la definición A.4, y Φ₂ es la función hipergeométrica confluente de Humbert de dos variables definida en el Apéndice. Para λ₁ = λ₂ =λ, la densidad (1) se reduce a una densidad Kummer-beta bivariada (Bran-Cardona,Orozco-Castañeda y Nagar [1]) y además, si λ₁ = λ₂= 0, se desliza a una densidad Dirichlet con parámetros a, b y c. Por lo tanto, llamaremos a la distribución dada por la densidad (1) la distribución Kummer-beta bivariada generalizada. A lo largo de este trabajo denotaremos esta distribución por GBKB(a,b;c;λ₁,λ₂).

La distribución Dirichiet es de interés para quienes estudian las proporciones, los espaciamientos o la división aleatoria de un intervalo.  En el análisis bayesiano, la distribución Dirichlet se utiliza como una distribución a priori conjugada para los parámetros de la distribución multinomial. Sin embargo, la familia Dirichlet no es lo suficientemente rica en alcance para representar muchos supuestos distributivos importantes, porque la distribución Dirichlet tiene menos número de parámetros. La distribución bivariada generalizada Kummer-beta es una generalización de la distribución Dirichlet (una distribución beta bivariada) con el número añadido de parámetros y enriquecerá la clase existente de distribuciones beta bivariadas. Además, la distribución bivariante Kummer-beta propuesta, que tiene una pdf elemental (excepto por la constante de normalización), es suficientemente flexible y puede utilizarse en lugar de otras distribuciones beta bivariantes.