A High-Order HDG Method with DubinerBasis for Elliptic Flow Problems

Método HDG de orden superior con bases de Dubiner para problemas de flujo elípticos

En este artículo proponemos el uso del método de Galerkin discontinuo híbrido (HDG) para resolver un problema clásico en mecánica de fluidos: la ecuación de Darcy. Este modelo describe el comportamiento de un fluido a través de un medio poroso y es relevante en el estudio de flujo a gran escala. Aquí presentamos algunos resultados teóricos de existencia y unicidad de la solución débil y discontinua de ecuaciones elípticas de segundo orden, así como el orden de convergencia predicho para el método HDG. Destacamos el uso e implementación de bases polinomiales de Dubiner que nos permiten desarrollar aproximaciones numéricas generales y de alto orden. Además mostramos ejemplos numéricos que validan los resultados teóricos.

1 INTRODUCCIÓN

El estudio de los procesos de flujo en medios porosos ha cobrado especial fuerza durante las últimas décadas. Esta área es relevante desde el punto de vista teórico, pero aún más cuando se relaciona con aplicaciones realistas, por ejemplo, las ciencias geológicas y ambientales [1],[2],[3]. En estos estudios, la construcción de modelos matemáticos precisos conduce a una mejor comprensión de los sistemas complejos [4]. Además, el diseño de métodos matemáticos numéricos precisos y sólidos proporciona una herramienta adecuada en los casos en que los resultados experimentales no son factibles.

Consideramos la ley de Darcy para el flujo monofásico sobre medios porosos. Este modelo empírico relaciona la presión y la velocidad de un fluido incompresible a través de un medio poroso. Observamos que la ley de Darcy puede derivarse de las ecuaciones de Navier-Stokes mediante la homogeneización y es válida para un flujo lento y viscoso (véase [5],[3]).

Además, uno de los retos actuales en la simulación del flujo de fluidos a través de medios porosos está relacionado con la alta heterogeneidad de los medios, por ejemplo, los yacimientos heterogéneos. Por lo tanto, nos centramos en la solución numérica del caso heterogéneo y anisótropo de la ley de Darcy, como se menciona en [6],[7]. Se trata de un marco general desde el que pretendemos ampliar los resultados matemáticos clásicos y la aplicación de métodos numéricos novedosos.

Sea Ω ⊆ R² un dominio acotado y simplemente conectado con frontera poligonal Γ. Para una velocidad de fluido u y una previsión p, consideramos el problema mixto elíptico de segundo orden 

​$u−−1C∇p,$     $inΩ,$     $(1a)$

div $u-f,$        $inΩ,$     $(1b)$​