Algunas integrales que involucran a la función hipergeométrica generalizada

Some Integrals involving generalized hypergeometric function

Recientemente Virchenko y colaboradores trataron una generalización de la función gamma ​​​

$\Gamma (\genfrac{}{}{0ex}{}{a,}{u,}\genfrac{}{}{0ex}{}{b;}{v}\genfrac{}{}{0ex}{}{c;}{};p,\tau )=v-a\begin{array}{c}\infty \\ \int \\ 0\end{array}xu-1e-px2R1\left(\begin{array}{c}a,b;c;\tau ;-\frac{x}{v}\end{array}\right)dx$ donde ​​$2R1\left(\begin{array}{c}a,b;c;\tau ;x\end{array}\right)$​es la función hipergeométrica generalizada presentada por Dotsenko en 1991. El objeto de este artículo es obtener algunos resultados que involucran casos especiales de esta función y obtener formas computables para los mismos.

1 INTRODUCCIÓN

La generalización τ de la función hipergeométrica de Gauss notada por ${}_2{R}_1(a,b;c;\tau ;z)$, fue presentada recientemente por Nina Virchenko [1] de la forma

$₂R₁(a,b;c;\tau ;z)=\frac{\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}\sum _{k=0}^{\infty }\frac{\Gamma (a+k)\Gamma (b+\tau k)}{\Gamma (c+\tau k)}\frac{zᵏ}{k!}(1)$

donde a, b, c son parámetros complejos, $\tau \in R,\tau >0,c\ne 0,-1,-2,....,|z|<1.$

Castillo y colaboradores [2] presentaron las siguientes representaciones simples para la función ${}_2{R}_1(a,b;c;\tau ;z):$

​​$₂R₁(a,b;c;\tau ;z)=\frac{\Gamma (c)}{\tau \Gamma (b)\Gamma (c-b)}\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(1-c+b)ₖ}{k!}\times$

$\left[\beta \right(\frac{k+b}{\tau }-a,1\left)\right(-z{)}^{-a}$${}_2{F}_1(a,a-\frac{k+b}{\tau };1+a-\frac{k+b}{\tau };\frac{1}{z})+$

​​​​$\beta (\frac{k+b}{\tau },-\frac{k+b}{\tau }+a)(-z)-\frac{k+b}{\tau }](2)$

$Re(c)>Re(b)>0,|arg(-z)|<\pi$

$(a)k=\frac{\Gamma (a+k)}{\Gamma (a)}$ es el símbolo de Pocchammer;​​​

​${}_2{R}_1(a,b;c;\tau ;z)=\frac{\Gamma (c)}{\tau \Gamma (b)\Gamma (c-b)}\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(1-c+b{)}_k}{k!}\frac{\Gamma (\frac{k+b}{\tau })}{\Gamma (\frac{k+b}{\tau }+1)}\times$