Solución aproximada de sistemas diferenciales mixtos

Approximated solution of differentials mixed systems

En este artículo se propone encontrar una solución aproximada para problemas de valor en la frontera y problemas de valor inicial de un sistema diferencial utilizando el método de los desarrollos de Fer.

1 INTRODUCCIÓN

El problema de encontrar soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales con coeficientes matriciales aparece en la formulación de modelos matemáticos de diversos problemas tecnológicos.

En este artículo se utilizará el método de los desarrollos de Fer para encontrar una solución aproximada de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales.

Los desarrollos de Fer fueron obtenidos originalmente en la década del 50 para la solución de ecuaciones diferenciales lineales no autónomas. En estudios posteriores se aplicaron para la resolución de la ecuación diferencial de un operador lineal A(t) en mecánica cuántica y la ecuación diferencial correspondiente al operador no lineal en mecánica clásica.

El método en mención tiene la ventaja de exigir un mínimo de condiciones a los coeficientes matriciales, tan solo se exige continuidad en ellos, frente a otros métodos que exigen condiciones mucho más fuertes, tales como la diferenciabilidad y la analiticidad, entre otros. Con respecto a las desventajas que puede presentar el método, se destaca el elevado costo computacional, debido a la presencia de funciones exponenciales matriciales.

En este artículo se considerará el problema mixto

​$u_t(x,t)=A(t)u_{xx}(x,t)0<x<p,t>0(1)$

$u(0,t)=u(p,t)=0t>0(2)$

$u(x,0)=f(x)0\le x\le p,(3)$

donde u(u₁, u₂, . . . , u_r) y f(x) son vectores de C^r y A(t) es una matriz en C^r×r cuyas entradas son funciones continuas y además existe un número positivo δ tal que para todo valor propio z de la matriz

​$\frac{1}{2}A(t)+A^H(t)$ se verifica que z > δ,            (4)

donde A^H(t) denota la transpuesta conjugada de la matriz A(t).

A través de este trabajo, el conjunto de todos los valores propios de una matriz A se denotará por σ(A) y el radio espectral de A, denotado por ρ(A), es el máximo del conjunto {|z|; z ∈ σ(A)}

Se denotará por ||A|| la 2–norma de A:

​$||A||=\begin{array}{c}sup\\ y\ne 0\end{array}\frac{||Ay||}{||y|{|}_2}=m\acute{a}x\{|w|\frac{1}{2};w\in \sigma (A^{H}A)\},$

donde para un vector $y ∈ C^r, ||y||_2= (y^Hy) frac{1}{2}$  es la norma euclídea usual.