Product of independent random variables involving inverted hypergeometric function type I variables

Producto de variables aleatorias independentes que involucran variables con función hipergeométrica invertida de tipo I

La distribución de función hipergeométrica invertida tipo I tiene la función de densidad de probabilidad proporcional a $x^{v-1}(1+x{)}^{-(v+\gamma )}2F1(\alpha ,\beta ;\gamma ;(1+x{)}^{-1}),x>0,$​ 

donde ₂F₁ es la función hipergeométrica de Gauss. En este artículo se deriva la función de densidad de probabilidad del producto de dos variables aleatorias independientes que se distribuyen según la función hipergeométrica inversa tipo I. También se consideran otros productos entre variables aleatorias con distribución beta tipo I, beta tipo II, beta tipo III, función hipergeométrica tipo I, función hipergeométrica inversa tipo I y Kummer–beta.

1 INTRODUCCIÓN

Se dice que la variable aleatoria X tiene una función hipergeométrica invertida tipo I, denotada por X ∼ IH^I( ν, α, β, γ ), si su función de densidad de probabilidad (f.d.p.) viene dada por (Gupta y Nagar [1], Nagar y Álvarez [2]),

​$frac{Γ(γ + ν − α)Γ(γ + ν − β)}{Γ(γ)Γ(ν)Γ(γ + ν − α − β)} frac{x^{ν−1}}{(1 + x)^{ν+γ}} {_2F_1}Big(α, β; γ;frac{1}{1 + x}Big), (1)$

donde x > 0, ν > 0, γ > 0, γ+ν > α+β, y ₂F₁ es la función hipergeométrica de Gauss de Gauss. Para α = γ, (1) se reduce a una densidad beta tipo II dada por

​$\frac{\Gamma (\gamma +\nu -\beta )}{\Gamma (\gamma )\Gamma (\nu -\beta )}\frac{x^{\nu -\beta -1}}{(1+x{)}^{\nu -\beta +\gamma }},x>0,$

y para β = γ, la densidad de la función hipergeométrica invertida tipo I se desliza a

​$\frac{\Gamma (\gamma +\nu -\alpha )}{\Gamma (\gamma )\Gamma (\nu -\alpha )}\frac{x^{\nu -\alpha -1}}{(1+x{)}^{\nu -\alpha +\gamma }},x>0.$

Además, para α = 0 o β = 0, la densidad de la función hipergeométrica invertida tipo I se simplifica a una densidad beta tipo II con parámetros ν y γ.

Recientemente, Nagar y Álvarez [2] estudiaron varias propiedades y representaciones estocásticas de la distribución de la función hipergeométrica invertida tipo I.

En este artículo, derivamos la función de densidad del producto de dos variables aleatorias independientes que tienen una distribución de función hipergeométrica invertida tipo I. También derivamos las densidades de otros productos que involucran variables con función hipergeométrica tipo I, beta tipo I, beta tipo II, beta tipo III, Kummer-beta y función hipergeométrica tipo I. Para otros resultados sobre el producto de variables aleatorias independientes, véase: Mathai y Saxena [3], Nagar y Zarrazola [4], y Sánchez y Nagar [5].

En la sección 2, damos definiciones de varias distribuciones univariantes. Las secciones 3 y 4 tratan de las derivaciones de una serie de densidades de productos de variables aleatorias independientes. Finalmente, en el apéndice, damos definiciones y resultados sobre la función hipergeométrica de Gauss, la primera función hipergeométrica de Appell F₁ y la función hipergeométrica confluente de Humbert Φ₁.