Algunas integrales indefinidas que contienen a la función hipergeométrica generalizada

Some indefined integrals containing to the generalized hypergeometric function

​En 1999 Nina Virchenko consideró la generalización $\Gamma$​ de la función hipergeométrica de Gauss $2R1\left(\begin{array}{c}a;b;c;\Gamma ;z\end{array}\right)$​ con un conjunto de fórmulas de recurrencia y de diferenciación. En este trabajo se evalúan algunas integrales indefinidas que contienen a la función hipergeométrica generalizada y algunos casos particulares.

1 INTRODUCCIÓN

Un gran número de funciones especiales pueden ser representadas en términos de series hipergeométricas y series hipergeométricas confluentes. Las series hipergeométricas en una y varias variables, aparecen naturalmente en una variedad de problemas en matemática aplicada, estadística, investigación de operaciones, física teórica y ciencias de la ingeniería [1, 2, 3]. Mathai y Saxena [3, 4] presentaron varias aplicaciones de las series hipergeométricas en una y varias variables en la solución de problemas de estadística y ciencias físicas. Kalla y colaboradores [5] usan funciones hipergeométricas para estudiar nuevas funciones de probabilidad que generalizan las existentes.

En 1999 N. Virchenko [6] consideró una generalización de la serie hipergeométrica de Gauss de la forma

​${}_2{R}_1^{\tau }(z){=}_2{R}_1(a,b;c;\tau ;z)=\frac{\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}\sum _{k=0}^{\infty }\frac{\Gamma (a+k)\Gamma (b+\tau k)}{\Gamma (c+\tau k)}\frac{z^k}{k!}(1)$

donde a, b, c son números complejos, $\tau \in R,\tau >0,c\ne 0,-1,-2,...;|z|<1.$

Si τ= 1 en (1),

​${}_2{R}_1(a,b;c;1;z){=}_2{F}_1(a,b;c;z),c\ne 0,-1,-2,...;|z|<1$

Esta función tiene la representación integral

​${}_2{R}_1(a,b;c;\tau ;z)=\frac{\Gamma (c)}{\Gamma (b)\Gamma (c-b)}{\int }_0^1{t}^{b-1}(1-t{)}^{c-b-1}(1-z{t}^{\tau }{)}^{-a}dt,Re(c)>Re(b)>0.$

En este trabajo se evalúan algunas integrales indefinidas que contienen a la función hipergeométrica generalizada, las cuales generalizan a las existentes.

2 Algunas integrales indefinidas que contienen a la función ₂F₁(α, β;γ;z)

En la actualidad se tienen muchos resultados que involucran a la función hipergeométrica de Gauss, entre los cuales están las integrales indefinidas asociadas a dicha función, éstas han sido calculadas por diversos investigadores, por ejemplo [9, págs. 44–45]:

​$displaystyleint x^n_2F_1 egin{pmatrix} a; & b \ c; & x end{pmatrix} dx=$​