El problema de π-geografía y el problema de Hurwitz

The π-geography problem and the Hurwitz problem

Sea $d⩾2$​ un entero y $\Pi$​ una partición de d. En este artículo se estudia el problema de para qué pares de enteros (a, b) existe un recubrimiento ramificado $F:\Sigma \to D^2=\left\{\begin{array}{c}z\in \mathbb{C}:|z|⩽1\end{array}\right\}$ que tenga a valores críticos, $X(\Sigma )=-b$ , y tal que la monodromía que se obtiene cuando se recorre la frontera de $D^2$​ en sentido positivo pertenece a la clase de conjugancia en el grupo simétrico Sd determinada por la partición π. Se estudian cuatro variantes de este problema: i) sin requerir conexidad del dominio, ii) requiriendo conexidad del dominio, iii) sin requerir conexidad del dominio, pero exigiendo que el recubrimiento sea semiestable, iv) requiriendo que el dominio sea conexo y que el recubrimiento sea semiestable. Se obtienen soluciones completas de las primeras dos variantes, y se obtiene una solución parcial de las variantes restantes. Además se explica cómo el interés por estos problemas surge del estudio de una pregunta análoga para funciones cuyo dominio es 4-dimensional.

1 INTRODUCCIÓN

El interés por el problema que es tema de este artículo surgió del estudio de una conjetura de los autores, referente a la relación entre el número de fibras singulares y la característica de Euler del espacio total, de una función localmente holomorfa y relativamente minimal F : M → D² donde M es una 4-variedad suave con frontera, que es compacta, orientada y conexa, y D² = {z ∈ C:|z|⩾1} es el disco cerrado unitario en el plano complejo. A grandes rasgos, la conjetura mencionada puede ser descrita de la siguiente manera. Sea Σ_g una 2-variedad suave sin frontera, que es compacta, conexa, orientada y de género g > 0, Dif⁺(Σ_g) el grupo de autodifeomorfismos de Σ_g que preservan orientación, y M_g el grupo cuyos elementos son las clases de isotopía de elementos de Dif⁺(Σ_g), y cuya operación es la inducida por la operación de composición de Dif⁺(Σ_g). Sea π una clase de conjugancia de un elemento de Mg, y denotemos por C^c_π a la colección formada por todas las funciones localmente holomorfas y relativamente minimales F : M → D², cuyo dominio es una variedad 4-dimensional (no fija) con las características ya mencionadas, tales que sus fibras no singulares son cada una difeomorfa a Σg, y la monodromía que se obtiene cuando se recorre en sentido positivo la frontera de D², pertenece a π. Para cada entero χ tal que la colección C^c_π,χ : ={F : M → D² ∈ C^c_π : χ(M) =χ} es no vacía, se define k^π(χ) como el mínimo de los números de fibras singulares (o, equivalentemente, de valores críticos) de elementos de C^c_π,χ.

Conjetura 1.1. La función k_π es no decreciente y lím_χ→+∞ k_π(χ) = +∞.

En [1] se prueba un resultado que apunta en la dirección de la conjetura

1.1. Este afirma que para g >1, si id es la clase de conjugancia del autodifeomorfismo identidad de Σ_g, y F : M → D² ∈ C^c_id es semiestable, es decir, es tal que para cada punto crítico p ∈ intM, existen cartas alrededor de p y de F(p), que van a abiertos de C² y C, respectivamente, y que preservan orientación, respecto a las cuales F toma la forma (z, w) →z²+w², entonces

​$frac{χ(M)−(2−2g)}{6g} + 1⩾ ,(1)$​