Árboles binomiales para la valoración de opciones sobre procesos derivados de la ecuación diferencial estocástica autónoma

Binomial tree for option valuation process derived from stochastic autonomous differential equation

En este trabajo se propone una recombinación en árboles binomiales multiplicativa generalizada para la ecuación autónoma, en términos de la condición inicial y del producto entre saltos no constantes hacia arriba y hacia abajo del proceso discretizado. Se presenta de manera formal una técnica para encontrar las probabilidades de transición dinámicas considerando los dos primeros momentos del proceso solución de la ecuación diferencial, los cuales incorporan el factor de crecimiento y la volatilidad en términos de los parámetros y del proceso subyacente a lo largo de su ramificación. Se muestran algunos resultados numéricos experimentales de valoración de opciones Europeas para el proceso log–normal y para los procesos de reversión a la media con ruido aditivo y ruido proporcional para diferentes fechas de expiración.

1 INTRODUCCIÓN

El modelo clásico de valoración de opciones de Black–Scholes [1] supone que el activo subyacente tiene un comportamiento dinámico asociado a la ecuación diferencial estocástica lineal homogénea dada por

​$d{S}_t=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}d{B}_t,$

donde µ, σ son constantes y {B_t}_t>0 es un movimiento browniano estándar unidimensional.

En este modelo se establece que, sin realizar supuestos sobre las preferencias de los inversionistas, se puede obtener una expresión para el valor de las opciones que no depende directamente del rendimiento esperado de la acción subyacente ni de la opción; las hipótesis sobre las que se sustenta configuran un escenario ideal en el que es posible la negociación continua, en unos mercados perfectos en los que la tasa de interés libre de riesgo es constante.

Desde la propuesta inicial de Black y Scholes han surgido numerosos modelos de valoración de opciones más complejos en los cuales se incorporan volatilidad estocástica [2], saltos [3, 4] y otros. Paralelamente, se han propuesto algunos métodos numéricos alternativos para valorar opciones como el de diferencias finitas [5, 6, 7], simulación Monte Carlo [8] y árboles binomiales (9, 10, 11] y trinomiales [1O, 12].

En general, las primeras configuraciones de estos métodos están estructuradas bajo el supuesto que el activo subyacente sigue un movimiento browniano geométrico, aunque esta suposición no siempre es cierta. De hecho, existe una clara evidencia de que los precios spot de commodities agrícolas [13] y algunos energéticos pueden ser modelados con procesos asociados a modelos de reversión a la media con parámetros constantes [14], e incluso con modelos más sofisticados que incluyen saltos y parámetros funcionales deter- minísticos o estocásticos [15, págs. 106-110], [16]. Aunque en [17] se pone en duda está afirmación dado el comportamiento de los precios de petróleo y gas natural en los últimos a˜nos, finalmente se propone un modelo de reversión no lineal de tres factores con una marcada tendencia de largo plazo estocástica, incorporando así el crecimiento del consumo mundial y el aumento de incertidumbre en las reservas de petróleo.