Atractividad local en la bifurcación de zip

Local atractivity in zip bifurcation

En el presente trabajo se estudia la atractividad local del segmento de equilibrios que se forma en el fenómeno de la bifurcación de zippara un sistema tridimensional de ecuaciones diferenciales no lineales. Este trabajo puede ser considerado como una generalización de un resultado de Farkas en bifurcación de zip de modelos en competición.

1 INTRODUCCIÓN

En el estudio del problema concerniente a la validez del principio de la exclusión competitiva, para el caso de dos especies predadoras, compitiendo por una presa que se regenera, el modelo (1) ha sido ampliamente considerado por varios autores [1].

​$s\dot{}=\gamma s(1-\frac{s}{k})-x_1\frac{m_{1}s}{a_1+s}-x_2\frac{m_{2}s}{a_2+s},$

$x{\dot{}}_1=x_1\frac{m_{1}s}{a_1+s}-d_1{x}_1,$         (1)

$x{\dot{}}_2=x_2\frac{m_{2}s}{a_2+s}-d_2{x}_2,$

donde x₁, x₂ y s son los tamaños de la población de los dos predadores y el de la presa que se regenera; y se supone que en ausencia del predador existe un crecimiento logístico de la presa. La respuesta funcional es saturada de acuerdo con la cinética de Michaelis–Menten, donde γ > 0 es la rata de crecimiento intrínseca de la presa, k > 0 es la capacidad de carga del medio con respecto a la presa, m_i > 0, d_i > 0 y a_i > 0 son la rata de nacimiento maximal, la rata de muerte y la constante de saturación media, respectivamente, del predador (i = 1, 2).​​

Considerando [1], las constantes en este modelo son

​${\lambda }_i=\frac{a_i{d}_i}{m_i-d_i},i=1,2,$

que se introducen teniendo el siguiente significado: xi se incrementa si y sólo si s > λ_i, según sea x_i positivo, llegando a ser cero en s = λ_i. Los autores de [2] han mostrado que las soluciones del sistema (1), correspondiente a valores iniciales positivos, son acotadas y permanecen en el octante positivo y que la especie predadora i–ésima puede sobrevivir únicamente si 0 < λ_i < k, lo cual implica que m_i > d_i. También han estudiado el caso genérico con λ₁ 6= λ₂, en [2] y [3] se demuestra que, para algunos valores de los parámetros, algunas soluciones periódicas pueden obtenerse en el octante positivo significando que la coexistencia es posible. En [4] se ha probado (usando teoría de bifurcación) que, en el caso 0 < λ₁ < λ₂, existen soluciones periódicas en el octante positivo para valores suficientemente pequeños de | λ₁ − λ₂ | y k − (a₁ + 2λ₁). En [5] se ha tratado el caso λ₁ = λ₂ = λ. Se ha establecido, en el caso a₁ = a₂ = a, que si k ≤ a + 2λ entonces hay un segmento de línea de equilibrio estable, mientras que, si k > a + 2λ entonces “todas las tres especies sobreviven en un ciclo límite permanentemente”. También ha probado que, en el caso a₁ > a₂, si k > a₁ + 2λ entonces x₂ va a cero, s y x₁ permanecen en un ciclo límite, si k = a₁ + 2λ entonces x₂ va a cero, s y x₁ tienden al equilibrio, si k < a₁ + 2λ entonces las tres especies sobreviven y la solución tiende a un punto de equilibrio del segmento de la línea de equilibrio.