Transformación conforme para prescribir curvatura escalar a la esfera

Conformal transformation for prescribing scalar curvature on sphere

Granados, en [1], ha demostrado la existencia de una familia de métricas conformes a la usual de la esfera unitaria con curvatura escalar n(n−1). En el presente artículo se halla otra solución al problema de prescribir la curvatura escalar de Sⁿ por medio de una transformación conforme adecuada. Más aún, si se conociera una familia de soluciones al problema general, se obtendría otra familia de soluciones.

1 INTRODUCCIÓN

Sea $S^n==\{(x_1,x_2,...,x_{n+1})\in R^{n+1}:{\sum }_{i=1}^{n+1}{x}_i^2=1\},n>3$, la esfera unitaria en Rⁿ⁺¹ con la métrica usual ${\sum }_{i=1}^{n+1}d{x}_i^2.S^n$ tiene entonces curvatura escalar constante igual a K₀ = n (n − 1). Si g es otra métrica riemanniana en Sⁿ, se dice que g es una deformaci´on conforme de g₀ si y sólo si existe una función u suave positiva tal que $g=\frac{4}{u^{n-2}}{g}_0$. Un problema clásico en geometría diferencial es determinar las funciones K definidas sobre Sⁿ para las cuales existe una métrica conforme a la métrica g₀ con curvatura escalar prescrita K en Sⁿ.​

Dada la función K, la existencia de dicha g equivale a la existencia de una solución positiva suave u, definida en Sⁿ con valores reales, a la ecuación diferencial

​$-△u+\frac{n(n-2)}{4}u=\frac{n-2}{4(n-1)}K(x)u\frac{n+2}{n-2},x\in S^n,(1)$

donde $g=u\frac{4}{n-2}{g}_0.$

Si K(x) es constante, el problema es conocido como la conjetura de Yamabe, el cual fue estudiado por Yamabe (1960), Trudinger (1968), Aubin (1976) y finalmente demostrado por Richard Shoen en 1984, ver [2, 3, 4]. Para una función de curvatura K(x) no constante el problema sigue sin resolver. Aunque son numerosos los intentos y los resultados concluyentes encontrados en relación al problema, en la actualidad sigue abierto ya que la gran dificultad en la solución de estos problemas es la falta de compacidad entre los encajamientos de los espacios de Sobolev asociados. El resultado más reciente ha sido presentado en el año 2001 por Wenxiong Chen and Congming Li [5], donde muestran una condición necesaria y suficiente para que el problema tenga solución.​

En el caso particular, K(x) = K₀ = n(n − 1), todo se reduce a probar la existencia de una función positiva u que resuelva el problema

​$− △u +frac{n(n − 2)}{4} u =frac{n(n − 2)}{4} u frac{n+2}{n-2},x ∈ S^n, (2)$

donde $g = ufrac{4}{n−2}g_0.$

El teorema 1.1 garantiza la existencia de una familia de soluciones a (2) y, así, la existencia de una familia de métricas conformes a la usual en Sⁿ. Su demostración se puede ver en [1] ó [6] aunque el resultado fue presentado en [5] sin dar alguna sugerencia de su prueba.