Solución de un modelo simplificado de publicidad usando técnicas de control óptimo

Solution of a simplified advertising model using optimal control techniques

En este artículo se presenta una simplificación al modelo distribuido de publicidad, formulándolo como una familia de problemas de control óptimo con parámetros concentrados. Se estudian dos variantes simplificadas: lineal y no lineal. Para el modelo lineal se proporciona una solución analítica derivada del principio de máximo. Para resolver el modelo no lineal se construye un algoritmo numérico basado en dos fórmulas no convencionales del incremento de la funcional objetivo.

1 INTRODUCCIÓN

Para tener éxito en ventas, las empresas deben participar en la conformación de la opinión pública acerca de sus servicios y/o productos. Este último serealiza a través de campañas publicitarias y cada empresa debe elegir una estrategia publicitaria óptima con la cual se pueda atraer un mayor número de consumidores de un nuevo producto o servicio.

Está claro que, en primer lugar, los fondos disponibles para inversión a la publicidad, siempre están limitados. En segundo lugar, se busca lograr el máximo efecto de dicha inversión y obtener el máximo beneficio. Existen muchos modelos de optimización dinámica que abordan este tipo de problemas desde el punto de vista de control óptimo [2, 3]. Entre ellos hay una clase bastante limitada de problemas que se formulan en términos de parámetros distribuidos, tomando en cuenta no sólo la dinámica temporal sino también la distribución por edades de los potenciales consumidores. En particular, enfaticemos un modelo formulado en [1] que contiene todas las funciones exógenas de entrada en forma explícita. Dicho modelo describe detalladamente el proceso de persuasión de nuevos consumidores y toma en cuenta un conjunto amplio de factores que pueden influir sobre la dinámica del mismo. No obstante, en [1] solo se formula el problema de optimización del modelo a grandes rasgos y se realizan algunas simulaciones numéricas para adivinar la estructura del control óptimo derivada del principio de máximo en su versión variacional.

El objetivo de este artículo consiste en buscar solución de modelo dinámico distribuido formulado en [1], usando técnicas de control óptimo.

La Sección 2 proporciona el planteamiento del modelo original derivado en [1] y lo formula como un problema de control óptimo con parámetros distribuidos. Dicho problema se reduce luego (Sección 3) a una familia de sub-problemas de control óptimo con parámetros concentrados a los largo de las características del sistema.