Product and Quotient of Independent Gauss Hypergeometric Variables

Producto y Cociente de Variables Independientes Hipergeométrica de Gauss

En este artículo, hemos derivado las funciones de densidad de probabilidad del producto y el cociente de dos variables aleatorias independientes que tienen una distribución hipergeométrica de Gauss. Estas densidades se hayan expresadas en términos de la primera función hipergeométrica de Appell F₁.Además, entropías Rényi y Shannon también se han derivado de la distribución hipergeométrica de Gauss.

1 INTRODUCCIÓN

Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución beta (tipo 1) con parámetros α y β si su función de densidad de probabilidad (pdf) viene dada por

​$B1(x; α, β) frac{x^{α−1} (1 − x)^{β−1}}{B(α, β)}, 0 < x < 1, (1)$​

donde α > 0 y β > 0, y

​$B(\alpha ,\beta )={\int }_0^1{t}^{\alpha -1}(1-t{)}^{\beta -1}dt$

$\frac{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )},Re(\alpha )>0,Re(\beta )>0$

denota la función beta. La distribución beta es muy versátil y una variedad de incertidumbres pueden ser modeladas útilmente por ella. Muchas de las distribuciones de rango finito que se encuentran en la práctica pueden transformarse fácilmente en la distribución beta estándar. En Gordy [1], Gupta y Nagar [2], Johnson, Kotz y Balakrishnan [3], McDonald y Xu [4], y Nagar y Zarrazola [5] se dan varias generalizaciones univariantes y matriciales de esta distribución. Una generalización univariante natural de la distribución beta es la distribución hipergeométrica de Gauss definida por Armero y Bayarri [6]. Se dice que la variable aleatoria X tiene una distribución hipergeométrica de Gauss, denotada por X ∼ GH(α, β, γ, ξ), si su función de densidad viene dada por

​$fGH(x; α, β, γ, ξ) = C(α, β, γ, ξ) frac{x^{α−1}(1 − x)^{β-1}}{(1 + ξx) ^γ}$​

donde α > 0, β > 0, -∞ < γ -1. La constante de normalización C(α, β, γ, ξ) viene dada por

​${C(\alpha ,\beta ,\gamma ,\xi )}^{-1}=B(\alpha ,\beta {)}_2{F}_1(\alpha ,\gamma ;\alpha +\beta ;-\xi ),(3)$

donde ₂F₁ representa la función hipergeométrica de Gauss (Luke [7]). Obsérvese que la función hipergeométrica de Gauss ₂F₁ en (3) puede expandirse en forma de serie si -1 < ξ 1, entonces utilizamos convenientemente (7) para reescribir ₂F₁ para que el valor absoluto del argumento sea menor que uno.

La distribución anterior fue sugerida por Armero y Bayarri [6] en relación con la distribución a priori del parámetro ρ, 0 < ρ < 1, que representa la intensidad del tráfico en un sistema de colas M/M/1. Una breve introducción de esta distribución se ofrece en la obra enciclopédica de Johnson, Kotz y Balakrishnan [3, p. 253]. En el contexto del análisis bayesiano de datos de recuento de Poisson no declarados, al derivar la distribución marginal posterior de la probabilidad de declaración p, Fader y Hardie [8] han demostrado que q = 1 - p tiene una distribución hipergeométrica de Gauss. La distribución hipergeométrica de Gauss también ha sido utilizada por Dauxois [9] para introducir priores conjugados en la inferencia bayesiana para procesos de crecimiento lineal de nacimientos y muertes. Sarabia y Castillo [10] han señalado que esta distribución es una prioridad conjugada para la distribución binomial.