Lógica de las tautologías

Logic of the tautologies

Se presenta como extensión del cálculo proposicional clásico, el sistema deductivo LT: lógica de las tautologías. En el sistema LT, se formalizan las nociones meta-lógicas de tautología, contradicción, satisfacible, refutable y contingencia. El sistema LT, es caracterizado con una semántica al estilo Kripke, y puede ser visto como una extensión del sistema de lógica modal S₅.

1 PRESENTACIÓN

Con el cálculo proposicional clásico CP, los enunciados que tienen las siguientes estructuras: si lo uno entonces lo otro, lo primero y lo segundo, esto o aquello, eso no, y esto si y solamente si aquello; se formalizan mediante los conectivos lógicos: condicional, conjunción, disyunción, negación y bicondicional respectivamente. Además, CP se encuentra caracterizado por una semántica de valores de verdad, donde cada fórmula es verdadera o falsa pero no verdadera y falsa, y en la cual se da una interpretación precisa de los conectivos, de tal manera que, el valor de verdad de una fórmula se determina a partir de los valores de verdad de sus sub-fórmulas atómicas.

Dada una fórmula, a cada posible combinación de los valores de verdad de las fórmulas atómicas que figuran en ella se le llama una asignación. Se dice que una fórmula es una tautología si y solamente si es verdadera para cada posible asignación, una fórmula es una contradicción si y solamente si es falsa para cada posible asignación, una fórmula es satisfacible si y solamente si verdadera para alguna asignación, una fórmula es refutable si y solamente si es falsa para alguna asignación, una fórmula es una contingencia si y solamente si es verdadera para alguna asignación y falsa para otra. Resulta que los teoremas del cálculo proposicional clásico son las tautologías y solo ellas. Para detalles ver [1] y [2].

En este trabajo se presenta como extensión del cálenlo proposicional clásico, el sistema deductivo LT. LT es la lógica de las tautologías. En el sistema LT, se formalizan las nociones meta-lógicas de tautología, contradicción, satisfacible, refutable y contingencia. El sistema LT, es caracterizado con una semántica al estilo Kripke, y puede ser visto como una extensión del sistema de lógica modal S₅ (ver [3]). Las pruebas de validez y completitud, son presentadas de forma detallada.

El sistema LT se obtiene a partir de CP, pidiendo que los teoremas de CP sean tautologías, que la conjunción de literales disjuntos (afirmación o negación de formulas atómicas diferentes) sea una contingencia, que la regla de inferencia Modus Ponens preserve las tautologías, y que las tautologías sean verdaderas. Se agregan axiomas que permitan simplificar adecuadamente los anidamientos o secuencias de los operadores de tautología, contradicción, satisfacible, refutable y contingencia. Los modelos para el sistema deductivo LT, son conjuntos de mundos posibles al estilo Kripke (ver [4]), donde del mundo actual (en el cual se determina si una fórmula es tautología, contradicción, satisfacible, refutablo, verdadera o falsa), se accede a mundos posibles en los cuales se representan las asignaciones de valores de verdad.