Some Exact Solutions for a Klein Gordon Equation

Algunas soluciones exactas para una ecuación de Klein Gordon

En la solución de problemas prácticos de las ciencias y la ingeniería surgen como consecuencia directa ecuaciones diferenciales que dan razón de la dinámica de los fenómenos. El encontrar soluciones exactas a estas ecuaciones proporciona información importante sobre el comportamiento de sistemas físicos. El método de las simetrías de Lie permite encontrar soluciones invariantes bajo ciertos grupos de transformaciones para ecuaciones diferenciales. Mediante este método fue posible encontrar familias de soluciones exactas invariantes para la ecuación de Klein Gordon u_xx — u_tt = k(u): En particular, se consideró la ecuación de Kolmogorov u_xx — u_tt = k1u + k₂uⁿ. Estas ecuaciones aparecen en el estudio de la física relativista y cuántica. Las soluciones generales encontradas podrían emplearse en futuros desarrollos en el estudio para otro tipo de funciones k(u).

1 INTRODUCCIÓN

Es notable cómo dos áreas aparentemente tan diferentes han alcanzado tal sinergia en la solución de ecuaciones diferenciales, como es el caso de las teorías de Grupos y Geometría Diferencial. A finales del siglo XVIII Sophus Lie hizo uso de los grupos de transformación en un esfuerzo por llevar los resultados de Evarist Galois sobre las ecuaciones polinómicas a la teoría de las ecuaciones diferenciales. Era sólo el principio y Sophus Lie ya preveía el monumental trabajo que se había propuesto. La dedicación de toda una vida estableció la piedra angular de esta enorme teoría. Fue Cartan quien por primera vez enunció el concepto de colector en relación con los grupos de transformación, construyendo el puente que permitió relacionar los resultados sobre grupos con la teoría de la geometría diferencial y viceversa. El primer teorema fundamental de Lie establece la correspondencia entre un grupo de Lie y su representación infinitesimal también llamada álgebra de Lie o el símbolo de la transformación. Esta relación permite estudiar las ecuaciones diferenciales no a partir de la acción del grupo sobre los submanifolds, sino a partir de su representación infinitesimal. Este hecho condujo a una notable simplificación en la comprensión del problema de cómo identificar las transformaciones bajo las cuales una ecuación diferencial permanecía invariante o equivalentemente según la teoría de Lie, encontrar transformaciones (Simetrías) o nuevas coordenadas que permitieran una aproximación más fácil a la solución de este tipo de ecuaciones [2].

El segundo teorema fundamental de Lie trata de la construcción de un grupo de Lie local a partir de su álgebra de Lie. Lo anterior es muy importante para buscar nuevas soluciones a partir de las conocidas. Mediante una clasificación completa de los grupos de transformación, Lie pudo identificar todas las posibles reducciones de orden de las ecuaciones diferenciales ordinarias.