Reproducing Kernel Element Method for Galerkin Solution of Elastostatic Problems

Método del elemento reproductor del núcleo para soluciones de problemas elasto-estáticos.

El Método del Elemento Reproductor del Núcleo (RKEM) es una técnica relativamente nueva desarrollada para tener dos propiedades distinguidas: suavidad de orden arbitrario y funciones de interpolación de orden arbitrario. Este artículo provee un tutorial acerca de la deducción e implementación de RKEM en discretizaciones de Galerkin en problemas elasto-estáticos en una y dos dimensiones. Una característica clave de RKEM es que no requiere de nodos intermedios en los lados de los elementos para incrementar el poder de interpolación de sus funciones de forma, y contrario a los métodos sin malla, la misma malla usada para construir las funciones de forma es usada para la integración de la matriz de rigidez. Además, algunas cuestiones acerca de la cuadratura usada para integración son discutidas en el artículo. Se espera que esto pueda atraer la atención de matemáticos.

1 INTRODUCCIÓN

Uno de los métodos de cálculo más utilizados en la ingeniería actual es el método de los elementos finitos (MEF). Aunque el MEF tiene una amplia gama de usos, tiene algunas limitaciones, como cualquier método de aproximación. Una de las limitaciones es la capacidad de proporcionar una interpolación global suave y arbitraria en una dimensión superior [1]. Una de las características clave de RKEM es que puede utilizarse en la representación de la geometría, como se ha demostrado en [2]. Esto abre una maravillosa oportunidad para introducir el método en las biociencias. Pero primero, necesitamos mostrar que el método puede ser utilizado para resolver ecuaciones diferenciales, así como, la representación de la geometría. El método de los elementos finitos no puede ser utilizado para resolver problemas que requieran un orden superior de continuidad, porque de una manera u otra, siempre es difícil construir funciones de interpolación de orden superior [3] para calcular tensiones y deformaciones. Por lo tanto, estas cantidades no están muy bien representadas dentro de un elemento, y se utilizan varias estrategias para suavizar estos resultados. Por esta razón, sería ventajoso disponer de un método para generar una interpolación suave de orden superior. El objetivo de este trabajo es proporcionar los detalles de la implementación del RKEM, incluyendo su programación en 1D. Los detalles del método se esbozan primero explícitamente para problemas unidimensionales y a continuación para un problema bidimensional. Los conceptos esenciales se describirán en el contexto de un problema unidimensional y bidimensional en elastostático. Además, queremos mostrar la matemática involucrada en la derivación del sistema discreto de ecuaciones utilizando una interpolación RKEM en la forma débil de Galerkin. Se espera que esto atraiga la atención de los matemáticos, físicos e ingenieros que trabajan en la mecánica del continuo.