Error Estimates for a Multidimensional Meshfree Galerkin Method with Diffuse Derivatives and Stabilization

Estimativos de error para un método de Galerkin libre de mallas en múltiples dimensiones con derivadas difusas y estabilización

Se presenta un método libre de mallas con derivadas difusas y estabilización por penalización. Un análisis de error para la aproximación de la solución de una ecuación elíptica general en múltiples dimensiones, con condiciones de frontera tipo Neumann es desarrollado. Resultados numéricos y teóricos muestran que el error de aproximación y la velocidad de convergencia son mejores que en el método de elementos difusos.

1 INTRODUCCIÓN

Los métodos numéricos basados en aproximaciones de mínimos cuadrados móviles (MLS) y las formulaciones de Galerkin forman una clase popular de esquemas sin malla. Sin embargo, el alto gasto computacional en la evaluación de las funciones de forma y sus derivadas son inconvenientes de la aproximación Galerkin. Para ello, Belytschko et al. [1] y Breitkopf et al. [2] han introducido enfoques computacionales eficientes para la evaluación de las funciones de forma MLS y sus derivadas.

Una alternativa para el cálculo de las derivadas, la derivada difusa, fue utilizada por Nayroles en [3] en el MDE. En la aproximación de la derivada difusa, sólo es necesario incluir las derivadas de la base polinómica en el cálculo de los gradientes de las variables de campo locales. Belytshko et al. [4],[5] argumentaron que las derivadas difusas no son atractivas en los métodos de Galerkin porque degradan la precisión debido a su falta de integrabilidad. Sin embargo, recientemente, la derivada difusa se ha utilizado en una clase de métodos novedosos sin malla (Huerta et al [6]) para problemas de Stokes. Debido a su simplicidad, las derivadas difusas, a diferencia de las derivadas completas, conservan la misma estructura de subespacio que sus funciones definitorias. Esta característica especial permitió a Huerta et al [6] eludir la complicada restricción de incompresibilidad y definir una clase de funciones de aproximación sin malla de divergencia. Más allá de la mecánica de fluidos, pensamos que esta nueva aproximación podría utilizarse para mejorar la aproximación común del método mixto.

Hay muy pocos trabajos sobre métodos sin malla con un análisis completo de errores [7]; entre ellos destacamos [8] sobre el RKPM, [9] sobre el EFG y [10] sobre el MPCM. El último trabajo proporciona un análisis matemático completo del MPCM con derivadas difusas, aplicado a un problema de Poisson con condiciones de contorno de Dirichlet. Sin embargo, no fue hasta nuestro trabajo anterior en [11] que se hizo un documento con un análisis completo de errores de un método Galerkin sin malla con derivadas difusas (DEM).

En este trabajo, introducimos una extensión de nuestro trabajo anterior en [11] donde introducimos un esquema Galerkin MLS desarrollado completamente con derivadas difusas, que llamamos Método Galerkin Difuso Estabilizado (SDGM).