A fully discrete finite element scheme for the Derrida-Lebowitz-Speer-Spohn equation

Un esquema de elementos finitos completamente discreto para la ecuación de Derrida-Lebowitz-Speer-Spohn

La ecuación de Derrida-Lebowitz-Speer-Spohn (DLSS) es una ecuación de evolución no lineal de cuarto orden. Esta aparece en el estudio de las fluctuaciones de interface de sistemas de espín y en la modelación de semiconductores cuánticos. En este artículo, se presenta una discretización por elementos finitos para una formulación exponencial de la ecuación DLSS abordada como un sistema acoplado de ecuaciones. Usando la información disponible acerca del fenómeno físico, se establecen las condiciones de contorno para el sistema acoplado. Se demuestra la existencia de la solución discreta global en el tiempo vía un argumento de punto fijo. Los resultados numéricos ilustran el carácter cuántico de la ecuación. Finalmente se presenta un test del orden de convergencia dela discretización propuesta.

1 INTRODUCCIÓN

La ecuación de Derrida-Lebowitz-Speer-Spohn (DLSS) es una ecuación parabólica no lineal de cuarto orden que fue propuesta para estudiar las fluctuaciones de la interfaz en un sistema de espín [1], [2]. Casualmente, en la modelización matemática del transporte de carga en dispositivos semiconductores cuánticos la ecuación DLSS aparece como la ecuación de difusión de deriva cuántica de temperatura y campo eléctrico cero [3].

En este trabajo, discutimos una nueva técnica numérica para resolver la ecuación DLSS

​$nt+\frac{{\epsilon }^2}{2}(n(logn)xx)xx=0,$           $in\Omega \times (0,T),$            $(1a)$

sujeta a las condiciones iniciales y de contorno

$n(x,0)=n_0\ge 0$              $in\Omega ,$                $(1b)$

$n(0,t)=n(1,t)=1$     $t\in [0,T]$        $(1c)$

$n_x(0,t)=n_x(1,t)=0$     $t\in [0,T],$  $(1d)$

donde n₀ es una función dada, Ω es el intervalo acotado (0, 1), y T > 0 es un tiempo fijo positivo. En cuanto a la modelización de semiconductores, n(x, t) denota la concentración de electrones, y ε es la constante de Planck escalada; es de orden O(10^-2;...;-4). Las condiciones de contorno de Dirichlet (1c) modelan la neutralidad de la carga en los contactos de la frontera, mientras que las condiciones de contorno de Neumann (1d) describen que no hay flujo de corriente que pase por la frontera.

Debido a las diversas dificultades y retos que presentan las ecuaciones diferenciales de cuarto orden (véase, por ejemplo, [4]), varios investigadores han analizado el problema (1). Por ejemplo, los resultados de existencia de una solución clásica positiva localmente en el tiempo y de soluciones no negativas globalmente en el tiempo de (1) se encuentran en [1] y [5] respectivamente.