A Fully-Discrete Finite Element Approximation for the Eddy Current Problem

Un esquema completamente discreto basado en elementos finitos para el problema de corrientes inducidas

El modelo de Eddy Current se obtiene a partir de las ecuaciones de Maxwell,despreciando las corrientes de desplazamiento de la Ley de Ampère-Maxwell.Bíró & Valli realizaron recientemente el análisis de existencia y unicidad de solución y el análisis teórico de convergencia para una de las formulaciones más populares del problema de Eddy Current en régimen armónico, conocida como “formulación en potenciales A,V - A”. En el presente artículo se extiende el análisis realizado por Bíró & Valli al modelo evolutivo general de Eddy Current. Presentamos un esquema completamente discreto para la formulación, basado en una aproximación temporal usando un método de Euler Implícito y una aproximación espacial a través del método de elementos finitos. Además, demostramos que el problema discreto resultante es un problema bien planteado y obtenemos estimaciones del error que muestran convergencia óptima.

1 INTRODUCCIÓN

En aplicaciones relacionadas con la ingeniería eléctrica (ver por ejemplo [1]) las corrientes de desplazamiento existentes en un conductor metálico son despreciables comparadas con la corriente de conducción. En tales situaciones las corrientes de desplazamiento pueden ser eliminadas de las ecuaciones de Maxwell para obtener un submodelo magneto-cuasistémico usualmente llamado problema de corrientes de Foucault; ver por ejemplo [2, Capítulo 8]. Desde el punto de vista matemático, este submodelo proporciona una aproximación razonable a la solución del sistema completo de Maxwell en el rango de baja frecuencia [3].

Entre los métodos numéricos utilizados para aproximar las ecuaciones de corrientes inducidas, el método de los elementos finitos (MEF) y los métodos que combinan el MEF y el método de los elementos de contorno (MEF-BEM) son los más extendidos; véase, por ejemplo, el reciente libro de Alonso y Valli [4] para un estudio sobre este tema que incluye una amplia lista de referencias. En la literatura matemática aplicada, podemos encontrar varios trabajos recientes dedicados al análisis numérico del modelo de corrientes parásitas en 3D dependientes del tiempo, tanto en dominios acotados como en dominios no acotados, utilizando los métodos MEF y MEF-BEM: Meddahi & Selgas [5], Ma [6], Acevedo et al. [7], Kang & Kim [8], Prato et al. [9], Acevedo & Meddahi [10], Bermúdez et al. [11], Camaño & Rodríguez [12]. Las principales diferencias entre estos trabajos son las incógnitas seleccionadas para calcular el campo electromagnético, las hipótesis topológicas sobre el dominio del conductor y las condiciones de contorno cuando el problema se resuelve en un dominio acotado.

El objetivo de este trabajo es analizar una aproximación de elementos finitos totalmente discreta para el problema de corrientes inducidas dependientes del tiempo en un dominio acotado, basada en una formulación en términos de un potencial magnético vectorial y un potencial eléctrico escalar. Los experimentos numéricos que muestran la eficiencia de esta aproximación, fueron reportados por Bíró & Preis (1989) [13], y hoy en día, es la base de varios códigos comerciales para calcular la solución del modelo de corrientes parásitas.