Metodología para incrementar el número de puntos experimentales en un diseño D-Óptimo

Methods for Increasing the Number of Experimental Points on a D-Optimal Design

La finalidad de los diseños óptimos es determinar las condiciones experimentales adecuadas de tal forma que se pueda garantizar inferencias estadísticas lo más precisas posibles en términos de mínima varianza del vector de parámetros estimado. Esta teoría presupone el conocimiento de la función que relaciona las variables explicativas con la variable respuesta, en esta situación, con frecuencia, se obtienen diseños con tantos puntos de soporte como parámetros tiene el modelo propuesto en la investigación. Dado que los diseños con p-puntos de soporte asumen que la función del modelo es conocida, éstos pueden llegar a ser no tan óptimos en algunas situaciones prácticas, debido a que no permiten probar la bondad de ajuste del modelo asumido [1]. En este artículo se presenta una generalización dela metodología propuesta en [2] para aumentar el número de puntos en el criterio D-optimalidad. Se encuentra una expresión para la varianza de la respuesta predicha en términos de una constante de ponderación δ , la cual permitirá determinar los puntos a adicionar al diseño D-óptimo. Se propone una estrategia para la elección de la constante δ . Finalmente se proporciona un diseño seudo-óptimo con p+s puntos de experimentación.

1 INTRODUCCIÓN

Para muchos procesos usualmente se tiene el interés de modelar el comportamiento de una variable Y a través de un conjunto de variables explicativas, por medio de un modelo estadístico que permita describir esta relación:

y(x) = η(x; θ) + ε,

donde η(x; θ) es una función del vector de parámetros desconocido θ^t = (θ₁, . . . , θ_p)  R^p, el vector x toma valores en un espacio de diseño X, en la práctica X suele ser un intervalo compacto y por último ε, llamado error aleatorio, contiene tanto la parte de los errores debido a la realización del experimento como los errores debido a la especificación del modelo, se asume que tienen media cero y varianza común σ².

Una vez determinada la función η(x; θ) es necesario establecer los niveles de las $x^′_is$​ is donde medir la variable respuesta y la frecuencia de éstas, de tal forma que se pueda mejorar la calidad de las inferencias estadísticas resultantes a un bajo costo. Una manera natural de medir la calidad de las inferencias respecto al conjunto de parámetros es en términos de la varianza de sus estimadores, la cual es proporcional a la inversa de la matriz de información de Fisher. El interés es que esta matriz sea 'grande' o que su inversa sea 'pequeña' para garantizar que $hat{ heta}$ estará cercano a θ [3]. Por tanto, la teoría de los diseños óptimos busca cuantificar la magnitud de esta matriz a través de un funcional de ella, de tal forma que se puedan obtener los puntos de diseño óptimos y sus pesos correspondientes.​