Regresión lineal con errores no normales: Secante Hiperbólica Generalizada

Linear Regression with Errors not Normal: Generalized Hyperbolic Secant

En este trabajo se presenta un estudio del modelo de regresión lineal del tipo y=θx+e, donde el error tiene distribución Secante Hiperbólica Generalizada (SHG). El método para estimar los parámetros se obtienen mediante una configuración de máxima verosimilitud expresando las ecuaciones no lineales en forma lineal (Verosimilitud Modificada). Los estimadores resultantes son expresiones analíticas en términos de valores dela muestra y, por lo tanto, son fácilmente calculables. Mediante la aplicación de varios tipos de datos, se muestra la metodología descripta anterior, y se obtienen modelos plausibles frente a las verdaderas distribuciones subyacentes de los datos.

1 INTRODUCCIÓN

En un modelo de regresión lineal del tipo y=θx+e, a menudo se asume que los errores ei, 1 ≤ i ≤ n son idd (independientes e idénticamente distribuidos) con distribución normal N(0,σ²). Sin embargo, hay muchas situaciones de la vida real en las cuales es evidente que la respuesta no es normal. Por ejemplo, existen aplicaciones donde la respuesta es binaria (0 o 1) y, por ello, su naturaleza es de Bernoulli. Otras veces, cuando la respuesta mide los tiempos de vida o los tiempos de reacción, los errores normalmente tienen una distribución sesgada. Por lo tanto, en este trabajo se asume que los ei tienen una distribución Secante Hiperbólica Generalizada (SHG). Vaughan en el 2002 propuso esta familia de distribuciones [1]. Esta se compone de distribuciones simétricas tanto de cola corta y larga con curtosis que van desde 1.8 a 9 e incluye la logística como un caso particular, la uniforme como un caso límite y se aproxima estrechamente a las distribuciones normal y t de Student. Debido al amplio tipo de distribuciones que pueden ser consideradas, la SHG es utilizada eficazmente en la modelización de diferentes tipos de datos.

Las ecuaciones de verosimilitud para la SHG son insolubles y resolverlas por iteración puede ser problemático [2],[3],[4]. Si los datos contienen valores atípicos, las iteraciones con las ecuaciones de verosimilitud son a menudo no convergentes [5].

Para mitigar estas dificultades, se puede utilizar el método de Máxima Verosimilitud Modificada (MVM) [6],[7], donde los estimadores obtenidos, tienen formas algebraicas explícitas y son, por lo tanto, fáciles para calcular y se sabe que tienen las siguientes propiedades bajo las condiciones de regularidad habituales para la existencia de los estimadores de Máxima Verosimilitud (MV):

(a) asintóticamente, los estimadores de MVM son totalmente eficientes, es decir, son insesgados y sus varianzas son iguales [8],[9],[4] a los Límites de Varianza Mínima (LVM);