Analytical-Numerical Solution of a Parabolic Diffusion Equation Under Uncertainty Conditions Using DTM with Monte Carlo Simulations

Solución numérico-analítica de una ecuación de difusión bajo condiciones de incertidumbre utilizando DTM y Monte Carlo

Un método numérico para resolver una ecuación parabólica general aleatoria lineal donde el coeficiente de difusión, el término fuente, las condiciones de contorno e iniciales incluyen la incertidumbre, se ha desarrollado. Ecuaciones de difusión surgen en muchos campos de la ciencia y la ingeniería, y en muchos casos, existen la incertidumbres debido a los datos que no se pueden saber, o debido a errores en las mediciones y la variabilidad intrínseca. Para modelar estas incertidumbres los parámetros correspondientes, coeficiente de difusión, término fuente, condiciones de contorno e iniciales, se suponen que son variables aleatorias con determinadas distribuciones de probabilidad. Basándose en los resultados numéricos, se obtienen los intervalos de confianza y valores medios esperados para la solución. Además, se obtienen con las soluciones numéricas-analíticas del método híbrido propuesto.

1 INTRODUCCIÓN

Las ecuaciones diferenciales, en general, describen la tasa de cambio de la propiedad física de la materia con respecto al tiempo y/o al espacio. Los fenómenos reales dan lugar a complicadas ecuaciones diferenciales, que rara vez tienen soluciones exactas. La dificultad de obtener soluciones analíticas y la disponibilidad de potencia de cálculo rápida hacen que las técnicas numéricas sean atractivas. Sin embargo, los métodos numéricos pueden tener problemas de convergencia lenta e inestabilidad.

Los modelos matemáticos que tratan la incertidumbre en las ecuaciones diferenciales se han considerado en las últimas décadas en una amplia variedad de áreas aplicadas, como la física, la química, la biología, la economía, la sociología y la medicina. Las ecuaciones diferenciales deterministas se han estudiado ampliamente, tanto desde el punto de vista analítico como numérico. Sin embargo, en muchas situaciones, las ecuaciones con entradas aleatorias son más adecuadas para describir el comportamiento real de las cantidades de interés que sus ecuaciones deterministas homólogas. La aleatoriedad en la entrada puede surgir debido a errores en los datos observados o medidos, a la variabilidad en el experimento y en las condiciones empíricas, a incertidumbres (variables que no se pueden medir o datos que faltan) o simplemente a la falta de conocimiento [1],[2].

Las ecuaciones diferenciales en las que algunos o todos los coeficientes se consideran variables aleatorias o que incorporan efectos estocásticos (normalmente en forma de ruido blanco) se han utilizado cada vez más en las últimas décadas para tratar los errores y la incertidumbre y representan un campo creciente de gran interés científico [3],[4],[5],[6].