K-deformed Conic Sections

Secciones cónicas κ-deformadas

En el presente artículo se analiza el efecto que tiene sobre la igualdad d(P, F₁) + d(P, F₂) = 2a siendo P un punto del plano, F₁ y F₂ los focos de esta figura plana llamada elipse y una constante positiva, el uso de la suma k-deformada en el sentido de Kaniadakis, la cual se define como $x\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{\oplus }y=x\sqrt{1+k^2{y}^2}+y\sqrt{1+k^2{x}^2}$ para 0 <  k < 1. La igualdad resultante $d(P,F_1)\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{\oplus }d(P,F_2)=2a$​  recibe el nombre de elipse k-deformada y tiene ecuaciones análogas a las de la elipse definida en el sentido usual. En el trabajo se hace el estudio sobre los vértices, los extremos relativos, las asíntotas, el lado recto, la representación gráfica para las cuatro secciones cónicas: elipse, hipérbola, circunferencia y parábola en el sentido k-deformado. Se estudia también el área que encierran la elipse y la hipérbola para cualquier valor de k.

1 INTRODUCCIÓN

Las secciones cónicas han sido objeto de estudio a lo largo de la historia, han servido para modelar diversos fenómenos físicos, astronómicos (1), acústicos, arquitectónicos (2), cartográficos (3) etc. Pueden ser estudiadas a partir de los cortes que se hacen a un cono, a partir del concepto de lugar geométrico (4), por medio de las coordenadas polares, de forma matricial, etc.; en cualquiera de los casos se analizan sus elementos: vértices, focos, excentricidad, ecuaciones canónicas y general, lado recto, directriz y asíntotas.

En la Tabla 1 se especifican algunos de los elementos de las secciones cónicas con centro en el origen y que abren sobre el eje x (5), la circunferencia es una elipse con eje mayor y menor iguales (a = b, c = 0).

Usando el concepto de lugar geométrico, la elipse es el conjunto de puntos del plano cuya suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante d1(P, F1) + d(P, F2) = 2a, para la hipérbola la diferencia de las distancias es constante, esto es |d1(P, F1) − d2(P, F2)| = 2a, cuando el producto de las distancias es fijo (d1(P, F1) · d2(P, F2) = b2) la familia de curvas recibe el nombre de Óvalos de Cassini, donde la Lemniscata y la circunferencia son dos casos particulares de la misma (6), en estas definiciones se trabaja con la suma, resta y multiplicación en el sentido usual. Giorgio Kaniadakis introduce un parámetro κ en sus artículos (7),(8) el cual se puede interpretar en el marco de la relatividad especial en términos del momento de inercia en dos sistemas inerciales, así como en el estudio de los grados de libertad microscópicos del Sistema(9). Con base en este parámetro se define la suma κ-deformada (1) y partiendo de esta expresión se hará el estudio de los efectos que sufren las secciones cónicas al considerar la suma y diferencia en el sentido de la κ-deformación y los cambios que ésto conlleva a sus elementos: vértices, ecuaciones, lado recto y extremos relativos. Adicionalmente se hace un estudio del área limitada por la elipse κ-deformada.