K−álgebras finitas conmutativas con unidad

Finite Dimensional Commutative K−algebras with Unity

En este artículo presentamos un estudio sobre las K−álgebras finitas, es decir las K−álgebras conmutativas con unidad que son espacios vectoriales de dimensión finita sobre un cuerpo K. Estas son suma directa de K−álgebras finitas locales. Caracterizamos la K−álgebra finita local $\frac{k[x]}{(f(x))}$​, mostramos que ciertas K−álgebras finitas son isomorfas y descomponemos la K−álgebra finita $\frac{k[x]}{(f(x))}$​ en K−álgebras finitas locales.

1 INTRODUCCIÓN

Sea K un cuerpo. Una K−álgebra A con unidad es un conjunto dotado de dos operaciones (A,+, ·) cumpliendo que:

1. es un anillo con unidad

2. es un K−espacio vectorial

3. para todo α ∈ K y para todos a, b ∈ A, α(ab) = (αa)b = a(αb).

Decimos que A es una K−álgebra finita si es una K−álgebra conmutativa con unidad y de dimensión finita como K−espacio vectorial. Denotaremos por dimK A a su dimensión como K−espacio vectorial.

Un homomorfismo de K−álgebras es una aplicación lineal φ : A→B entre dos K−álgebras tal que

​$\phi (1_A)=1_B,$     y

​$\phi (ab)=\phi (a)\phi (b),\forall a,b\in A.$

El homomorfismo structural

​$K\to A$

$1_K\to 1_A$

es inyectivo ya que K es cuerpo. Por lo tanto 1_K es parte libre en el K−espacio vectorial A y puedo extender {1 _A } a una base de A.

Si dim _K A = 2, tomamos γ ∈ AK, luego {1 _A, γ} es parte libre en A y por tanto {1 _A, γ} es una base del K−espacio vectorial A. Además como 1 · γ = γ · 1, se tiene que el anillo A es conmutativo. Sin embargo, para dimensiones superiores, las K−álgebras no son necesariamente conmutativas. Por ejemplo, el cuerpo de los números cuaterniónicos es una R−álgebra de dimensión cuatro que no es conmutativa. En este artículo estamos interesados sólo en K−álgebras conmutativas.

Las K−álgebras finitas han sido un tema de investigación permanente en álgebra conmutativa, ver por ejemplo 1), (2), (3) y (4. Nosotros presentamos aquí un estudio sistemático y con menos teoría especializada de ellas en comparación con las encontradas en los textos tradicionales de álgebra conmutativa 5), (6), (7), (8) y (9.

Las K−álgebras son usadas en áreas muy diversas como representaciones de grupo, teoría de códigos, la ecuación de Yang-Baxter, álgebras de Hopf y las álgebras de Frobenius 10. Las K−álgebras no sólo son importantes en matemáticas, también encontramos en la literatura que se usan en otras áreas principalmente cuando el cuerpo K es el de los números complejos.