Generalized Extended Matrix Variate Beta and Gamma Functions and Their Applications

Funciones Beta y Gama generalizadas extendidas y sus aplicaciones

En este artículo definimos y estudiamos formas generalizadas de las funciones gama y beta matriz variadas extendidas. Utilizando varios resultados del álgebra matricial, funciones especiales de argumento matricial y polinomios zonales, derivamos algunas de las propiedades de estas funciones. También mostramos algunas aplicaciones de estas funciones a la teoría de distribuciones.

1 INTRODUCCIÓN

La función gamma fue introducida por primera vez por Leonard Euler en 1729, como límite de una expresión discreta y posteriormente como una integral impropia absolutamente convergente, a saber

​$\Gamma (a)={\int }_0^{\infty }{t}^{a-1}exp(-t)dt,Re(a)>0.$     (1)

La función gamma tiene muchas propiedades hermosas y se ha utilizado en casi todas las ramas de la ciencia y la ingeniería.

Un año más tarde, Euler introdujo la función beta definida para un par de números complejos a y b con partes reales positivas, mediante la integral}

​$B(a,b)={\int }_0^1{t}^{a-1}(1-t{)}^{b-1}dt,Re(a)>0,Re(b)>0.$     (2)

La función beta tiene muchas propiedades, incluyendo la simetría, B(a,b) = B(b,a), y su relación con la función gamma,

​$B(a,b)=\frac{\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (a+b)}$

En la teoría de la distribución estadística, las funciones gamma y beta se han utilizado ampliamente. Utilizando integradas de funciones gamma y beta, se suelen definir las funciones de densidad gamma y beta.​

Recientemente, los dominios de las funciones gamma y beta se han ampliado a todo el plano complejo introduciendo en los integradores de (1) y (2) los factores exp (-σ/t) y exp (-σ/t(1 - t)), respectivamente, donde Re(σ) > 0. Las funciones así definidas se han denominado funciones gamma y beta ampliadas.

En 1994, Chaudhry y Zubair (7 definieron la función gamma extendida

Γ(a; σ), como

​$Γ(a;σ) = displaystyleint_{0}^∞ t^{a−1}exp Big( -t-frac{σ}{t} Big)dt,$     (3)