The Notions of Center, Commutator and Inner Isomorphism for Groupoids

Las nociones de centro, conmutador e isomorfismo interno para grupoides

En este artículo se introduce algunas propiedades algebraicas de los subgrupoides y subgrupoides normales. Definimos el normalizador de un subgrupoide amplio H de un grupoide G y mostramos que, como en el caso de grupos, este normalizador es el mayor subgrupoide amplio de G en el cual H es normal. Además, damos las definiciones de centro Z(G) y conmutador G′ del grupoide G y probamos que los dos son subgrupoides normales. También damos las nociones de isomorfismo interno e isomorfismo parcial de G y mostramos que el grupoide I(G) dado por el conjunto de todos los isomorfismos internos de G es un subgrupoide normal de A(G), el conjunto de todos los isomorfismos parciales de G. Además, probamos que I(G) es isomorfo al grupoide cociente G/Z(G), lo cual extiende a grupoides un resultado bien conocido para grupos.

1 INTRODUCCIÓN

La noción de un groupoide (de Brandt) fue introducida por primera vez en [1] desde un punto de vista algebraico. Posteriormente, esta noción fue generalizada por Ehresmann [2], quien consideró estructuras topológicas y diferenciables. Otra definición equivalente de groupoide (junto con sus propiedades) aparece en [3], donde se define un groupoide como una categoría pequeña para la que cada morfismo es invertible. En [4] se estudia la estructura y la teoría de las representaciones de los groupoides finitos.

En [5], definición 1.1), Ivan sigue el trabajo de Ehresmann [2] y presenta la noción de grupoide como un caso particular de un álgebra universal. Además, define la noción de homomorfismo fuerte para los groupoides y demuestra el teorema de correspondencia (o el cuarto teorema de isomorfismo), en este contexto. Además, el Teorema de Cayley para groupoides se encuentra en [6], Teorema 3.1).

En [7], se define un pseudogrupo de unión utilizando la categoría dual a la categoría de groupoides en lugar de la categoría de pseudoespacios. En particular, la noción de grupoide se presenta como un cuádruple formado por un conjunto y tres relaciones: una multiplicación, una operación estrella y una relación desde un único conjunto al conjunto base inicial, satisfaciendo cuatro condiciones. Se demuestra que esta definición de groupoide es equivalente a la definición categórica. Stachura en [8] sigue la definición dada por Zakrzewski en [7] y presenta algunas propiedades de los morfismos de los groupoides (denominados morfismos de Zakrzewski) y muestra una relación entre los morfismos de Zakrzewski y las acciones de los groupoides.

La definición de grupoide desde un enfoque axiomático, similar al de grupo, se presenta en [9]. En este sentido, Paques y Tamusiunas [10] dan condiciones necesarias y suficientes para que un subgrupoide sea un subgrupoide normal y construyen el grupo cociente. En [11] se demuestran los teoremas de isomorfismo y se presenta una aplicación de los mismos a las series normales.