A Survey on Some Algebraic Characterizations of Hilbert’s Nullstellensatz for Non-commutative Rings of Polynomial Type

Un estudio sobre algunas caracterizaciones algebraicas del teorema de ceros de Hilbert para anillos no conmutativos de tipo polinomial

En este artículo presentamos un estudio sobre algunas caracterizaciones algebraicas del teorema de Nullstellensatz de Hilbert para anillos no conmutativos de tipo polinomial. Utilizando varios resultados establecidos en la literatura, obtuvimos una versión de este teorema para las extensiones de Poincaré-Birkhoff-Witt. Una vez hecho esto, ilustramos el Nullstellensatz con ejemplos que aparecen en la teoría de los anillos no conmutativa y en la geometría algebraica no conmutativa.

1 INTRODUCCIÓN

El Nullstellensatz de Hilbert es uno de los tres teoremas fundamentales sobre los anillos de polinomios sobre campos. Los otros dos teoremas son el teorema de la base de Hilbert, que afirma que los anillos de polinomios sobre campos son noetherianos, y el teorema de la sicigia de Hilbert, que se refiere a las relaciones, o sicigias en la terminología de Hilbert, entre los generadores de un ideal o, más generalmente, de un módulo. A lo largo de la historia se han dado varias formulaciones del Nullstellensatz. La formulación más importante establece una relación entre el radical de un ideal polinómico y el ideal de una variedad de un ideal polinómico sobre el espacio afín. Más precisamente,

Proposición 1.1 ([1]. Teorema 4.2.6. (Nullstellensatz fuerte)). Sea F un campo algebraicamente cerrado. Si I es un ideal en F[x₁,...,x_n], entonces I(V((I)) =√I.

Si pensamos en una versión del Nullstellensatz de Hilbert para anillos no conmutativos de tipo polinómico, y a lo largo podemos notar que la Proposición 1,1 tiene varios problemas cuando queremos definir una noción de variedad ya que tenemos que cambiar las indeterminaciones, por esta razón, en este trabajo adoptamos un punto de vista algebraico con el objetivo de establecer el teorema para estructuras algebraicas no conmutativas. Nuestro punto de partida es el siguiente hecho clave sobre las extensiones algebraicas de campos que se considera como el Nullstellensatz de Hilbert en el caso conmutativo. De hecho, la Proposición 7.9 del libro de Atiyah es un resultado previo al Nullstellensatz débil, que es el Corolario 7.10.

Proposición 1.2 ([2], Proposición 7.9. (Nullstellensatz de Hilbert)). Sea k un campo y E una álgebra finitamente generada. Si E es un campo entonces es una extensión algebraica finita de k.

Podemos observar que esta versión del Nullstellensatz de Hilbert no utiliza la noción de variedad; sólo incluye propiedades algebraicas.

Con este resultado en mente, nuestro propósito en este trabajo es presentar varias formulaciones algebraicas al Nullstellensatz de Hilbert que se han dado en la literatura y tachar ejemplos notables de álgebras no conmutativas que aparecen en matemáticas y física teórica.