Diseños Dπ-óptimos para modelos no lineales heteroscedásticos: Un estudio de robustez

Dπ-optimal Designs for Heteroscedastic Nonlinear Models: A Robustness Study

Los diseños óptimos son utilizados para determinar las mejores condiciones donde se debe realizar un experimento para obtener ciertas propiedades estadísticas. En los modelos no lineales heteroscedásticos donde la varianza es una función de la media, el criterio de optimalidad depende de la elección de un valor local para los parámetros del modelo. Una forma de evitar esta dependencia es considerar una distribución a priori para el vector de parámetros del modelo e incorporarla en el criterio de optimalidad que se va a optimizar. En este artículo se consideran diseños D-óptimos en modelos no lineales heteroscedásticos cuando se incorpora una distribución a priori asociada a los parámetros del modelo. Se extiende el teorema de equivalencia al considerar el efecto de la distribución a priori. Se propone una metodología para la construcción de distribuciones a priori discretas y continuas. Se muestra, con un ejemplo, cómo a partir de las distribuciones construidas se pueden encontrar diseños óptimos con mayor número de puntos experimentales que los obtenidos con un valor local. La eficiencia de los diseños hallados es muy competitiva comparada con los diseños óptimos locales. Adicionalmente se consideran distribuciones a priori de una familia de escala, y se muestra que los diseños hallados son robustos a la elección de la distribución a priori elegida de esta familia.

1 INTRODUCCIÓN

Los diseños óptimos permiten utilizar de manera eficiente los recursos requeridos para realizar un experimento en las áreas de investigación donde se desea obtener alguna información de interés mediante el uso de la estadística. De este modo, buscan las mejores condiciones donde se debe realizar un experimento con el fin de que se alcancen algunas propiedades estadísticas, por ejemplo: minimizar la varianza de los estimadores de los parámetros, minimizar el volumen del elipsoide de confianza asociado a los parámetros del modelo, entre otros. La búsqueda de estos diseños requiere del cumplimiento de los siguientes supuestos: independencia, normalidad y homogeneidad de la varianza del término de error del modelo. En la literatura existen trabajos donde se proponen métodos para hallar diseños óptimos cuando los supuestos anteriores no se cumplen. Por ejemplo, en el caso donde la varianza del error no es constante hay varios aportes para la búsqueda de diseños D-óptimos tanto para modelos lineales como no lineales (Dette y Müller, 2013 [1], Dette y Wong, 1999 [2], Downing, Fedorov y Leonov, 2001 [3], Gaviria y López-Ríos, 2014 [4], Burridge y Sebastiani, 1994 [5], Atkinson y Cook, 1995 [6], Dette y Wong, 1996 [7], Fang y Wiens, 2000 [8]). En todos los trabajos consultados el criterio de optimalidad propuesto depende de la elección de un valor local para los parámetros del modelo. Una forma de evitar esta dependencia es considerar una distribución a priori para el vector de parámetros del modelo e incorporarla en el criterio de optimalidad que se va a optimizar.