Algunas integrales impropias con límites de integración infinitos que involucran a la generalización τ de la función hipergeométrica de Gauss

Some improper integrals with integration infinity limit involvinggeneralizad hypergeometric function 2R1(a, b;c;τ;z)

En 1991 M. Dotsenko presento una generalización de la función hipergeométrica de Gauss denotada por ₂R^τ₁(z), estableciendo además tanto su representación en serie como también su representación integral. Es importante notar que en 1999 Nina Virchenko y luego, en el 2003, Leda Galu e consideraron esta función, introduciendo un conjunto de formulas de recurrencia y de diferenciación las cuales permiten simplificar algunos cálculos complicados. Kalla y colaboradores estudiaron esta función y presentaron una nueva forma unificada de la función Gamma, luego en el 2006, Castillo y colaboradores pre-sentaron algunas representaciones simples para esta función. En este trabajo se establecen algunas integrales impropias con l ́ımites de integración infinitos que involucran a la generalizacionτde la función hipergeométrica de Gauss ₂R₁(a, b;c;τ;z).

1 INTRODUCCIÓN

El estudio de las funciones especiales ha apoyado en gran manera el desarrollo de las matemáticas aplicadas, entre ellas se tienen [1, 2]: la función hipergeométrica de Gauss, la función hipergeométrica generalizada, la función hipergeométrica de Wright, las funciones de Appell, la función G, la función H, las funciones de Humbert, etcétera.

Las funciones hipergeométricas aparecen en una diversidad de aplicaciones tales como [1, 3]: estadísticas, investigación de operaciones, teoría cuántica, ecuaciones funcionales, vibración de placas, conducción de calor, elasticidad, radiación, etcétera.

En 1991 M. Dotsenko consideró una generalización de la función hiper-geométrica de Gauss denotada por ₂R^τ₁(z), estableciendo además su representación en serie e integral. En 1999 Nina Virchenko [4] estableció algunas fórmulas de diferenciación y relaciones de recurrencia para la función ₂R^τ₁(z),luego en el 2006 Jaime Castillo y colaboradores [5] obtuvieron 17 representaciones simples para dicha función.

En este trabajo se pretende obtener algunas integrales impropias con límites de integración infinitos que involucran a la generalización τ de la función hipergeométrica de Gauss ₂R₁ (a, b;c;τ;z).

1.1  La función hipergeométrica

En esta sección se presenta la ecuación diferencial hipergeométrica con la solución en serie denominada serie hipergeométrica de Gauss, la cual se nota por ₂F₁ (α, β;γ;z) llamada comúnmente como la función hipergeométrica de Gauss.