Extensión del método Gauthier para realizaciones mínimas multivariables, incorporando teoría de fracciones coprimas

Extension of Gauthiers Method for Multivariable Realizations by Incorporating Coprime Fractions

En este artículo se presenta una extensión del algoritmo del método de Gauthier, que soluciona la búsqueda de realización mínima multivariable partiendo de matrices de transferencia cuadradas. El algoritmo incorpora previamente la teoría de fracciones coprimas, desarrolladas con matrices de Silvester y factorización qr. Debido a que las fracciones coprimas tienen una especial relación con las matrices en fracción polinomial, se muestran sus diferencias, analizándolas independientemente. Se plantean las características generales y se nombran las funciones desarrolladas para hacer hincapié en los caminos de búsqueda de la fracción coprima que no son únicos, así como tampoco su representación en espacio de estado. Para la demostración se utilizó un sistema dinámico multivariable, donde se comprueban la eficiencia y las limitaciones del algoritmo elaborado, con base en funciones realizadas con la Toolbox de control de Matlab®.

INTRODUCCIÓN

El modelamiento matemático de sistemas es quizá el primer aspecto necesario para formular un sistema de control automático. El ingeniero de control, a partir de una o varias plantas, intenta describirlas de la manera más acorde con un comportamiento inherente, algunas veces por medio de subsistemas, a fin de establecer la mejor aproximación del estado dinámico en cualquier tiempo. Los sistemas, en la mayoría de los casos, son de tipo multivariable, es decir, tienen ya sea más de una entrada, más de una salida o ambas (Chen, 2009).

El modelamiento y la descripción de estos sistemas se pueden representar por medio de matrices de transferencia, sistemas de ecuaciones diferenciales y ecuaciones dinámicas de estado. Estas últimas son más conocidas con el nombre de representación en el espacio de estado y tienen un interés particular, porque permiten un manejo matricial del problema. Generalmente, para trabajos computacionales y de implementación electrónica siempre se recurre al modelo en espacio de estado.

Algunas veces, la descripción en matrices de transferencia no es suficiente para caracterizar un sistema completamente (Chen, 2009); esto se debe a que muchas veces el sistema posee condiciones iniciales que no se pueden reflejar muy bien dentro de una descripción entrada-salida, en especial los estados que pueden tener variables en cualquier tiempo. De igual manera, tampoco se refleja de manera inmediata cuáles polos son controlables, observables y cuáles de ellos no lo son.