Sobre la solución numérica de la ecuación de onda

About a Numeric Solution of the Wave Equation

La solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales que evolucionan en el tiempo es un área de trabajo en constante desarrollo. En este trabajo se aborda la solución computacional de la ecuación de onda bajo dos métodos para problemas que involucran el tiempo: el de Newmark y el de diferencias finitas (DF). El método de Newmark tiene una alta precisión y una excelente tasa de convergencia, comparado con el de DF. Por su parte, el método de DF es de fácil implementación. Con el ánimo de comparar estos dos métodos se han puesto en funcionamiento dos problemas típicos-test en FORTRAN: el de una membrana cuadrada totalmente fija en sus bordes con una velocidad inicial en el centro y una viga simplemente empotrada con una velocidad inicial en uno de sus extremos. Cada uno de estos problemas son implementados, espacialmente, con el método de los elementos finitos y, temporalmente, con Newmark y DF. Los resultados muestran que Newmark permite utilizar pasos de tiempo mayores que DF, pero presentan mayor oscilación numérica. Con estos resultados se espera obtener datos iniciales para comparar con otros métodos que serán implementados posteriormente.

INTRODUCCIÓN

Las ecuaciones diferenciales parciales que dependen del tiempo tienen numerosas aplicaciones en diversas ramas de la ciencia y la ingeniería (Gershenfeld, 1998; Mansur et al., 2007). Generalmente, para este tipo de ecuaciones es difícil obtener respuestas transitorias de una manera analítica; por esto se deben utilizar técnicas numéricas para encontrar soluciones aproximadas (Mansur et al., 2008; Loureiro, 2007). La manera más fácil de verificar si estas técnicas numéricas presentan un grado de precisión y fiabilidad es solucionando un problema del cual se conozca su solución analítica, y de esta manera comparar los resultados obtenidos frente a los resultados reales del fenómeno físico (Gershenfeld, 1998; Mansur et al., 2008).

A pesar de la gran cantidad de técnicas numéricas desarrolladas, todos los métodos de integración pueden ser clasificados como explícitos e implícitos. La literatura reporta muchos algoritmos clásicos explícitos (Souza et al., 2004; Tamma et al., 1990) e implícitos (Chung y Hulbert, 1993; Newmark, 1959) para resolver problemas en los que se requiere avance en el tiempo o integración temporal.

Los métodos explícitos no implican solucionar un grupo de ecuaciones lineales para cada paso de tiempo; usan, en cambio, la ecuación diferencial en el tiempo t para predecir la solución en el tiempo t + Δt. La mayoría de problemas requiere un paso de tiempo muy pequeño que cumpla con ciertas condiciones, a fin de obtener una solución estable. Por lo tanto, todos los métodos explícitos son condicionalmente estables respecto a la medida del paso de tiempo (Chapra y Canale, 1998; Akai, 1999).