Optimización de Monte Carlo usando la distribución beta

Monte Carlo Optimization Using Beta Distribution

En este artículo se presenta el novedoso método de Monte Carlo para explorar funciones no lineales n-dimensionales definidas en un dominio compacto que es transformado al hipercubo unitario [0; 1]ⁿ. En esta aproximación se usa la distribución beta para generar muestras aleatorias; entre tanto, los parámetros de la distribución (alfa y beta) son ajustados dinámicamente, tal que en las primeras iteraciones la distribución beta es similar a la distribución uniforme. En las últimas iteraciones, la distribución beta es centrada en el mínimo conocido y la varianza es cercana a cero, tal que únicamente el vecindario alrededor del óptimo es muestreado. El método propuesto es probado usando cuatro funciones bien conocidas.

INTRODUCCIÓN

En optimización se desea solucionar el problema formulado como min f(x) sujeto a L ≤ x ≤ U, donde x, L y U son vectores n × 1, y f () es una función no lineal, tal que f: ℜn → ℜ (Rao, 1996). Este problema se ha abordado exitosamente de diversas maneras, por métodos basados en derivadas y métodos directos (Himmenlblau, 1972; Pierre, 1986; Bazaraa, Sherali y Shetty, 2006). Uno de los principales problemas que enfrentan muchos de los métodos, tanto directos como independientes de las derivadas, es conseguir una exploración a profundidad de las regiones de búsqueda (Törn y Zilinskas, 1989). Cuando no hay una exploración suficiente, por lo general se llega a un mínimo local. La característica estocástica del método de Monte Carlo de optimización permite que se explore la región aleatoriamente y logre una buena exploración con bajo costo computacional (Patel, Smith y Zabinsky, 1988).

El método de Monte Carlo tradicional (Dixon y Szegö, 1978; Rinnooy Kan y Timmer, 1984) se ha aplicado directamente a la solución de problemas reales (Kadri, Gharbi y Trabelsi, 2006; Riabov, Riabov y Tverskoy, 2006) y se ha combinado también con otras metodologías (Lei, 2002; Ren, Ding y Liang, 1988; Dugan y Erkoç, 2009) con el fin de mejorar su desempeño. Por otra parte, la exploración inicial, es decir, la búsqueda de un buen punto de inicio ha sido un problema por resolver para la mayoría de métodos (Himmenlblau, 1972; Pierre, 1986). Dadas las características del método de Monte Carlo, este ha sido escogido por varios métodos para realizar la exploración inicial y potenciar los resultados de la técnica primaria (Beyer y Schwefel, 2002; Bäck, 1996).

El objetivo de este artículo es presentar una modificación del método de Monte Carlo basada en el uso de la distribución beta, y en el cual se utiliza la información recolectada sobre la función objetivo para concentrar el muestreo de la región factible en aquella zona donde se encuentra localizado, posiblemente, el óptimo global.