Enfoque explícito de green (ExGA) para la solucion de acuaciones diferenciales parciales en mécanica

Explicit Green Approach (ExGA) for Solving Partial Differential Equations in Mechanics

Este artículo presenta la formulación y la implementación de la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales parciales mediante el método de Green explícito (ExGA). El método utiliza la transformada de Laplace para obtener la respuesta en el dominio de la frecuencia y, posteriormente, mediante transformada inversa, permite obtener, de forma explícita, la incógnita que soluciona la ecuación diferencial parcial. Se observa la versatilidad del método por la reducción de recursos computacionales para resolver problemas lineales de orden 2 y 1. Se llevan a cabo cuatro ejemplos numéricos para la ecuación de transferencia de calor y elasticidad. Los resultados muestran la exactitud y la precisión del método, el cual puede usar diferenciales de tiempo superiores a los utilizados en algoritmos de integración temporal clásicos con una respuesta cercana a un algoritmo de orden 2.

INTRODUCCIÓN

Muchas de las ecuaciones diferenciales parciales que describen el comportamiento de fenómenos físicos complejos son dependientes del tiempo (Gershenfeld, 1999; Cebeci, 2004). Típicamente estos problemas se denominan de valor inicial y se presentan frecuentemente en campos como transferencia de calor, propagación de ondas y comportamiento dinámico de estructuras (Akai, 1996). A su vez, estos problemas que evolucionan en el tiempo pueden depender de la posición espacial de las partículas, por lo que se hace necesaria la solución numérica a partir de una discretización de la ecuación diferencial en el dominio espaciotemporal (Zienkiewicz y Morgan, 1982). Por lo tanto, es conveniente aplicar un procedimiento de discretización parcial en el espacio-tiempo, con el cual se reemplazará la ecuación diferencial parcial por un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias (Zienkiewicz y Taylor, 2000).

Para solucionar este sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, ahora dependientes del tiempo, se han desarrollado numerosas técnicas de integración temporal (Zienkiewicz, Wood y Hine, 1984; Hughes, 2000). La solución de estas ecuaciones diferenciales pueden originar sistemas algebraicos cuya solución son del tipo explícito, semiimplícito o implícito (LeVeque, 2006; Newmark, 1959). Comúnmente en la literatura se encuentran los métodos de la familia de Newmark (1959), Wilson-θ (Bathe y Wilson, 1973), Hilber-Hughes-Taylor (1977) y Bossak-α (Wood et ál., 1981). Los últimos métodos mejoran la aproximación que se realiza con el métodos de Newmark (Hughes, 2000).

De igual manera, se desarrollaron métodos con un orden de precisión más alto, a fin de disminuir errores numéricos y aumentar el orden de convergencia. Entre los más destacados son los métodos mostrados por Kutta (1901), que son una generalización del método propuesto por Runge (1895), para la obtención de métodos de cualquier orden.