Acerca la formación de patrones de Turing bajo consideraciones probabilistas

On Turing Pattern Formation under Stochastic Considerations

En este artículo presentamos varias pruebas numéricas sobre ecuaciones de reacción-difusión en el espacio de Turing, bajo el mecanismo de reacción de Schnakenberg. El objetivo es obtener los patrones de cada coeficiente de expansión en polinomios de caos. Las pruebas se realizaron en unidades cuadradas 2D, a las cuales se les impusieron condiciones iniciales aleatorias y condiciones cero de Neumann en la frontera. Los parámetros que definen el comportamiento de las ecuaciones, más específicamente los parámetros de difusión y reactivos, se modelan como campos estocásticos. Así, el método estándar de elementos finitos con Newton-Raphson se combinó con el método estocástico espectral de elementos finitos. Los parámetros de cada ecuación se describen mediante la expansión de Karhunen-Loève, mientras que la incógnita está representada por la expansión de los polinomios del caos. Los resultados muestran la versatilidad del método para resolver diferentes problemas físicos. Además, logra la descripción estadística de la solución. Los resultados para los coeficientes estocásticos desconocidos, muestran patrones complejos que mezclan bandas y puntos que no se pueden predecir a partir de la dinámica del sistema.

INTRODUCCIÓN

Muchos problemas de la física, la química, la economía, la biología, la bioingeniería e, incluso, la ecología, entre otros campos, pueden ser modelados balanceando tres fenómenos: la difusión, la convección y la reacción (Babuska, et al., 1995; Garzón, et al., 2009; Ferreira, et al., 2002; Chaplain, et al., 2001; Madzvamuse, 2002; Kondo y Asai, 1995; Crauste, et al., 2008; Rossi, et al., 2008; Rothschild y Ault, 1996; Nozakura y Keuchi, 1984; Smith, 2000; Richter, 2008; Ferragut, et al., 2007). Dicho balance se plantea en la ecuación diferencial de reacción-convección-difusión (1), y se complementa con las condiciones de contorno descritas en (2), (3) y (4).

Donde k ≥ 0 es el coeficientedufusivo, x̄ ∈ ℜ denota el vector posición en  el domino, ū es el campo de velocidad asociado al proceso convectivo, s es el coeficiente fuente (s > 0 significa producción y s < 0 significa disipación), ƒ (x̄) es la función de generación, g (x̄) es la función que define el valor del campo escalar ø sobre la frontera 「ø y h (x̄) es la función que define el valor del flujo sobre la frontera 「_▽.

Estas ecuaciones de reacción-advección-difusión (1) y otros modelos más complejos, donde intervienen más especies o reactantes, tienen la habilidad de crear patrones espacio-temporales. Un caso particular de estos patrones son las inestabilidades de Turing (Garzón, 2007; Madzvamuse, et al., 2003), que se caracterizan por la aparición de distribuciones de especies (patrones) estables en el tiempo e inestables en el espacio.