Cálculo de raíces reales y / o complejas de sistemas de ecuaciones no lineales a través de la optimización del enjambre de partículas modificadas

Real and/or Complex Roots Calculation of Nonlinear Equations Systems through Modified Particle Swarm Optimization

En este artículo se describe una alternativa numérica para solucionar sistemas de ecuaciones no lineales con raíces reales y/o complejas. Para ello se convirtió el problema de solución directa de tales sistemas en un problema de optimización, y se resolvió utilizando el método de enjambre de partículas apropiadamente modificado para tal tarea. A título demostrativo se incluyen algunos resultados con sistemas de dos, cinco y diez ecuaciones, resueltos en un computador convencional y en un arreglo de cuatro nodos. Se concluyó que la estrategia es válida para solucionar este tipo de sistemas. Por otra parte, no se detectó una mejora en los tiempos de computación cuandose utilizó el cluster.

INTRODUCCIÓN

Dada la dificultad de representar los fenómenos físicos a través de uno o más sistemas de ecuaciones no lineales (NSE), es necesario disponer de varios métodos analíticos y/o numéricos para resolverlos (Grosan y Abraham, 2008; Bianchini et al., 2001; Floudas, 1999; Ortega y Rheinboldt, 1970). Algunos de estos sistemas no tienen una única raíz (solución), por lo que encontrarla se convierte en un reto matemático y computacional, que es, a día de hoy, un tema de investigación abierto. En algunos casos, se pueden utilizar enfoques algebraicos para encontrar algunas de ellos. Sin embargo, la mayoría de los NSE son demasiado difíciles de resolver de esta manera, por lo que se utilizan enfoques numéricos para obtener soluciones aproximadas, con un determinado margen de error (Luo et al., 2008). Uno de los métodos más utilizados es el Newton Raphson (NR) multidimensional. A pesar de su sencillo algoritmo y su alta velocidad de convergencia, su principal debilidad es que depende de un punto de partida definido por el usuario, que debe estar cerca de la solución deseada, lo que significa que requiere un conocimiento previo de la solución. Cuando hay que resolver un sistema con varias variables y ecuaciones relativamente Cuando hay que resolver un sistema con varias variables y ecuaciones relativamente complejas, el punto de partida cercano a la solución resulta casi imposible de adivinar. Otro enfoque tradicional es el método del gradiente. Sin embargo, éste requiere que el sistema cumpla una condición de diferenciabilidad, lo que puede resultar difícil de conseguir. A lo largo de los últimos años, los llamados algoritmos evolutivos se han convertido en una potente opción para la solución numérica (Geng et al., 2009; Hatanaka et al., 2004; Yang et al.,2008). Cuando el NSE se hace más grande, los enfoques tradicionales se vuelven excesivamente difíciles y poco prácticos, aumentando el coste computacional, por lo que es necesario utilizar métodos más recientes (Brits et al., 2002; Hui y Zhao, 2008; Grosan y Abraham, 2008; Cui y Cai, 2010).