Ejemplos de aplicación de los métodos numéricos a problemas de ingeniería

Examples of application of numerical methods to engineering problems

En la actualidad, gracias a la gran evolución que han tenido los métodos numéricos y su implementación en potentes computadoras, es posible, por ejemplo, modelar el choque de un vehículo o hacer el análisis aerodinámico-estructural de un avión, resolviendo en cada caso sistemas algebraicos de ecuaciones con varios cientos de miles (a veces de millones) de incógnitas.

En este documento se presentan algunas aplicaciones de los métodos numéricos a diversos problemas de ingeniería. Se muestra una descripción de algunos de los problemas importantes en el diseńo asistido por computadora utilizando métodos numéricos que actualmente se abordan en ingeniería. Se explican además algunos ejemplos con desarrollos teóricos y computacionales que se realizan en el Centro de Investigación en Matemáticas CIMAT (Guanajuato, México). Este trabajo presenta un panorama general de algunas de las aplicaciones que pueden darse a los métodos numéricos.

Advanced numerical methods and their applications to industrial problems : adaptive finite element methods

Métodos numéricos avanzados y sus aplicaciones a problemas industriales : métodos de elementos finitos adaptativos

Cuando se habla acerca del uso de las matemáticas o del modelado matemático aplicados a la industria, esto significa la transformación de los problemas del mundo real en matemáticas. A menudo, esto implica dejar de lado algunos detalles irrelevantes con respecto a las ecuaciones planteadas. Mientras los experimentos revelan los rasgos particulares de cualquier proceso, el modelo matemático permite el establecimiento de leyes generales, contribuyendo con ello con el conocimiento fundamental de tal proceso.

Las ecuaciones diferenciales parciales ocupan un lugar importante en el modelado matemático, ya que describen un intervalo enorme de principios físicos; han venido convirtiéndose en una herramienta poderosa desde la época de Euler y Lagrange.

El objetivo de este documento es discutir algunos problemas de modelado y proporcionar el conocimiento relacionado con las técnicas de elementos finitos para la aproximación numérica de las ecuaciones de los modelos. En especial, la teoría y aplicación de los métodos de elementos finitos es una excelente combinación de teoría matemática con aspectos de implementación, modelado y aplicaciones.

Los denominados métodos “adaptativos” permiten, por una parte, la prescripción de una tolerancia para un error de aproximación mientras que, por otra, hacen posible la realización de cálculos donde, por ejemplo, una malla (mesh) refinada de manera uniforme resultaría prohibitivamente costosa, especialmente a nivel tridimensional o para problemas que necesiten la resolución a distintas escalas.

Cómo hacer un modelo matemático

How to make a mathematical model

En este trabajo se muestra cómo hacer un modelo matemático riguroso a través de la aplicación de una teoría establecida donde se toma a la calidad de agua superficial como un caso de estudio. Con este parámetro se pretende demostrar como los modelos se pueden complicar dependiendo de la rigurosidad y exactitud que se quiera tener al representar el fenómeno. También se presentan soluciones analíticas de algunos de los modelos y se propone resolver por el método numérico de diferencias finitas los modelos que no tengan solución analítica, dejando las ecuaciones discretizadas.