Enseñanza de ondas mecánicas en cuerdas usando mathematica

Teaching mechanical waves on strings using mathematics

Se resuelve la ecuación de onda y se efectúa la simulación de la solución obtenida, usando el programa Mathematica, para el caso de una cuerda elástica tensa con un extremo fijo y el otro libre. Esto se propone como ejemplo para la enseñanza de los fenómenos ondulatorios mecánicos en cursos de física general para estudiantes de ciencias e ingeniería. El ejemplo orienta al estudiante en el análisis crítico mientras aprende conceptos fundamentales de física, además puede ser extendido al caso bidimensional y constituye una base sólida y adecuada para otros temas como las ondas electromagnéticas y la mecánica cuántica.

INTRODUCCIÓN

Cuando un estudiante de ciencias o ingeniería inicia el estudio de un fenómeno ondulatorio como la propagación de un pulso en una cuerda tensa y su reflexión en el extremo de ésta (French, 1997; Sears et al., 1998), por ejemplo, se encuentra con descripciones o justificaciones de las observaciones realizadas en el laboratorio o de su experiencia cotidiana. Estas descripciones y observaciones una vez aceptadas por el estudiante en adelante le sirven como postulados para resolver problemas o hacer predicciones cuantitativas y cualitativas relacionadas con otros tipos de los procesos ondulatorios. Sin embargo, la propagación de una onda mecánica en una cuerda, el comportamiento de la onda en la frontera o en un cambio de medio es consecuencia de la segunda ley de Newton aplicada en forma infinitesimal al medio continuo (lo cual conduce a la ecuación de onda) y de las ligaduras a las que está sometido el mismo (condiciones de frontera). La base para analizar los procesos ondulatorios en este caso, lo constituye la segunda ley de Newton y no las descripciones (y las analogías) de los fenómenos ondulatorios mecánicos.

Se aprecia el esfuerzo hecho por los autores en transmitir el significado de cada una de las funciones que intervienen en la solución de la ecuación de onda mecánica, así como la forma en que se puede escribir la solución en términos de dos funciones que viajan en sentidos opuestos. Sin embargo, en este trabajo se considera más conveniente comenzar el estudio de ondas mecánicas en una cuerda, a partir de la segunda ley de Newton; luego obtener la ecuación de onda y posteriormente resolverla por el método de separación de variables. La solución obtenida, en muchos casos, es una superposición convergente de un número infinito de funciones. Aquí surge el inconveniente de estudiar esta solución. Un análisis cuidadoso de ella proporciona un camino para observar teóricamente los fenómenos de reflexión en la frontera, interferencia, modos normales de oscilación, pulsaciones, etc.

El análisis de la solución de la ecuación de onda no es fácil, sin embargo, esta dificultad puede ser superada con relativa facilidad usando programas matemáticos en computadores y calculadoras.