Generadores para ideales asociados a diferencia de tablas de Ferrers y cómputo de los generadores para ideales de Ferrers

Generators for ideals associated with different Ferrer tables and computation of generators for Ferrer ideals

Recientemente (Barile, 2006) se reportó un método combinatorio para identificar ciertos generadores de los ideales de Ferrers. Se observa que su procedimiento se puede implementar en un computador con un sistema algebraico computacional. En este reporte se presenta la implementación en CoCoA de un programa que permite calcular generadores para este tipo de ideales, implicando el cómputo inmediato del rango aritmético del ideal. También se presenta una extensión de estos resultados para ideales asociados a la diferencia de tablas de Ferrers.

INTRODUCCIÓN

Sea R = K [x₁,...,x_n] el anillo de polinomios sobre un campo K de característica 0. Por el teorema de la base de Hilbert sabemos que cualquier ideal I de R es finitamente generado, es decir, existen ƒ₁,..., ƒ_j ∈ R, tal que, I = 〈ƒ₁,...,ƒ_j〉.

Por otra parte, las tablas de Ferrers son elementos combinatorios de gran importancia en la teoría combinatoria de representaciones de grupos de simetría, geometría combinatoria, variedades de Schubert, etc. Usualmente se identifican las tablas de Ferrers por la forma de la partición que las determina.

Una partición es una sucesión no creciente de enteros positivos λ₁ ≥ λ₂ ≥ ... ≥ λ_j > 0, la cual se grafica por medio de un arreglo de cajas alineadas a la izquierda en donde la fila tiene λ_L cajas. De esta forma, la partición G = (4,2,2,1) se identifica con la tabla que se muestra en la figura 1.

Una caja de la tabla se identifica por la fila y columna en la cual se encuentra. La caja sombreaba en la figura 1 es la (3,2).

El ideal de Ferrers I(G) asociado a una tabla G es generado por los monomios x_py_q tal que (p,q) ∈ G, (Barile, 2006).

Ejemplo 1. Sea G = (4,2,2,1). Entonces

I(G) = 〈x₁y₁,x₁y₂,x₁y₃,x₁y₄,x₂y₁,x₂y₂,x₃y₁,x₃y₂,x₄y₁〉

Con la ayuda de algún sistema algebraico computacional como CoCoA, Macaulay o Singular, podemos hacer algunos cálculos para ver algunas propiedades de estos ideales.

Por ejemplo, con CoCoA verificamos que el ideal del ejemplo anterior es radical:

Use Q[x[1..10],y[1..10]];— anillo de polinomios en las variables x[1],..., x[10] y[1],..., y[10]

IG:=Ideal(x[1]y[1],x[1]y[2],x[1]y[3],x[1] y[4],x[2]y[1],x[2]y[2]

,x[3]y[1],x[3]y[2],x[4]y[1]);—definición del ideal de Ferrer asociado a (4,2,2,1)

R:=Radical (IG);—computo del radical de I(G)

R=IG;—verificación I(G) es ideal radical

TRUE