Between Open Sets and Semi-Open Sets

Entre las series abiertas y las series semiabiertas

Introducimos e investigamos los conjuntos ω_s-abiertos como una nueva clase de conjuntos que se encuentra estrictamente entre los conjuntos abiertos y los semiabiertos. A continuación, utilizamos los conjuntos ω_s-abiertos para introducir las funciones ω_s-continuas como una nueva clase de funciones entre las funciones continuas y las funciones semicontinuas. Damos varios resultados y ejemplos sobre nuestros nuevos conceptos. En particular, obtenemos algunas caracterizaciones de las funciones ω_scontinuas.

INTRODUCCIÓN

Sea (X ,τ) un espacio topológico y A⊆ X . Denotaremos el complemento de A en X , el cierre de A, el interior de A, el exterior de A, y la topología relativa sobre A, por X - A, A, Int(A), Ext(A), y τ_A, respectivamente. En 1963, Levine [7] definió los conjuntos semiabiertos como una clase de conjuntos que contiene a los conjuntos abiertos de la siguiente manera: A es semiabierto si existe un conjunto abierto U tal que U ⊆ A⊆ U, esto equivale a decir que A⊆ Int(A). Utilizando conjuntos semiabiertos también generalizó la continuidad por semicontinuidad de la siguiente manera: Una función f : (X ,τ₁) → (Y,τ2) es semicontinua si para todo V ∈ τ₂, la preimagen f^-1 (V ) ∈ SO(X ,τ₁). El complemento de un conjunto semiabierto se llama semicerrado [5]. Un punto x ∈ X se llama punto de condensación [6] de A si para cada U ∈ τ con x ∈ U, el conjunto U ∩ A es incontable. Hdeib [6] definió los conjuntos ω-cerrados y los conjuntos ω-abiertos como sigue: A se llama ω-cerrado si contiene todos sus puntos de condensación. El complemento de un conjunto ω-cerrado se llama ω-abierto. La colección de todos los conjuntos ω-abiertos de un espacio topológico (X ,τ) se denotará por τ_ω. En [1], el autor demostró que (X ,τ_ω) es un espacio topológico y τ ⊆ τ_ω . Además, se observó que A es ω-abierto si y sólo si para cada x en A existe un conjunto abierto U y un subconjunto contable C tal que x ∈ U - C ⊆ A. El ω-cerrado de A en (X ,τ), denotado por ω, es el menor conjunto ω-cerrado en (X ,τ) que contiene a A (cf. [1]). El ω-interior de A en (X ,τ), denotado por Intω (A), es el mayor conjunto ω-abierto en (X ,τ) contenido en A. El ω-exterior de A en (X ,τ), denotado por Ext_ω (A), se define como Int_ω (X - A). Es evidente que el ω-cierre (resp. ω-interior) de A en (X ,τ) es igual al cierre (resp. interior) de A en (X ,τ_ω). En 2002, Al-Zoubi y Al-Nashef [2] utilizaron los conjuntos ω-abiertos para definir los conjuntos semi ω-abiertos como una forma más débil de los conjuntos semi abiertos de la siguiente manera A es semi ω-abierto si existe un conjunto ω-abierto U tal que U ⊆ A⊆ U. La colección de todos los conjuntos semi ω-abiertos de un espacio topológico (X ,τ) se denotará por SωO(X ,τ). Al-Zoubi [4] utilizó los conjuntos semi ω-abiertos para introducir las funciones semi ω-continuas como una forma más débil de las funciones ω-continuas como sigue: Una función f : (X ,τ₁) → (Y,τ₂) es semi ω-continua[4] si para todo V ∈ τ₂, la preimagen f^-1 (V ) ∈ SωO(X ,τ₁).