Swimming in Curved Surfaces and Gauss Curvature

Natación en superficies curvas y curvatura de Gauss

El paradigma cartesiano-newtoniano de la mecánica establece que, dentro de un marco de inercia, un cuerpo permanece en reposo o se mueve uniformemente en una línea, a menos que una fuerza actúe externamente sobre él. Esta afirmación crucial se rompe Esta afirmación crucial se rompe cuando los conceptos clásicos de espacio, tiempo y medida se revelan son inadecuados. Si, por ejemplo, el espacio no es plano, una traslación efectiva puede producirse desde el reposo en ausencia de una fuerza externa aplicada. En este trabajo examinamos matemáticamente el movimiento de un pequeño objeto o lagarto en una superficie curva arbitraria. En particular, permitimos que la forma del lagarto sufra una deformación cíclica debida exclusivamente a las fuerzas internas, de modo que que el momento lineal total se conserva. Además del hecho de que que la deformación produce un evento de natación, demostramos -bajo suposiciones bastante simplificando bastante- que dicha traslación es algo directamente proporcional a la curvatura de Gauss de la superficie en el punto donde se encuentra el lagarto.

INTRODUCCIÓN

En un plano inercial euclidiano, un cuerpo inicialmente en reposo permanece en reposo hasta que una fuerza perturbadora lo hace salir del reposo. Sin embargo, en una superficie curva, un objeto deformable puede experimentar una cantidad finita de traslación como resultado de las deformaciones cíclicas que surgen de las fuerzas internas causadas por los músculos, motores u otros medios de alteración de la forma (Wisdom 2003). En resumen, se dice que el cuerpo nada en la superficie curva. El movimiento efectivo no viola la ley de conservación del momento lineal, sino que es una auténtica generalización de esta ley. El fenómeno revela la existencia de ciertos campos gauge en el espacio de configuración para dicho objeto o sistema (Shapere & Wilczek 1989, Littlejohn & Reinsch 1997). La traslación neta no depende de la velocidad con la que cambia la forma, sino de la curvatura de Gauss no nula de la superficie. Es decir, el fenómeno de la natación se convierte en última instancia en geométrico (Avron & Kenneth 2006).

Aunque la existencia de la traslación neta desde el reposo se ha establecido rigurosamente en diferentes contextos, su dependencia de la curvatura de Gauss exige esfuerzos de investigación suplementarios. Sin duda, el movimiento de natación "depende de la curvatura intrínseca del colector" (Wisdom 2003). En Avron & Kenneth (2006) se ha demostrado de paso que "para un nadador pequeño, la distancia de nado en una brazada está determinada por la curvatura de Riemann por ciertos momentos del nadador". Esto sugiere que, en el mejor escenario posible, la traslación efectiva sería directamente proporcional a la curvatura de la superficie y eso es ciertamente lo que ocurre en una 2-esfera (Blau 2003).