Non-radial functions, nonlocal operators and Markov processes over p-adic numbers

Funciones no radiales, operadores no locales y procesos de Markov sobre números p-ádicos

El objetivo principal de este artículo es estudiar una nueva clase de operadores no locales y el problema de Cauchy para ciertas ecuaciones pseudodiferenciales de tipo parabólico naturalmente asociadas a ellos. Las soluciones fundamentales de estas ecuaciones son funciones de transición de procesos de Markov en un espacio vectorial n-dimensional sobre los números p-ádicos. También estudiamos algunas propiedades de estos procesos de Markov incluyendo el problema del primer tiempo de paso.

INTRODUCCIÓN

Los procesos de Markov en espacios ultramétricos han sido de gran interés en los últimos años debido a sus conexiones con modelos de sistemas complejos. Estos procesos son muy convenientes para describir fenómenos en los que el despliegue de los estados del espacio exhibe una estructura jerárquica, véase, por ejemplo, [1-16] y las referencias que contiene. Frauenfelder, Parisi y Stain, entre otros [9, 15], propusieron describir los estados de sistemas biológicos complejos con una organización jerárquica natural utilizando espacios ultramétricos. Avetisov et al. han construido modelos de difusión ultramétrica restringidos por paisajes energéticos jerárquicos, véase [1-6]. Desde un punto de vista matemático, la estructura del espacio de estados de configuración de un sistema complejo se aproxima mediante un espacio ultramétrico Q_p (véase la definición 2.1). Por otra parte, la evolución temporal de un sistema complejo puede describirse mediante una pseudodiferenciación de tipo parabólico en Q_p. Esta ecuación maestra controla la evolución temporal de la función de transición de un proceso de Markov.

El primer autor y otros [17] introdujeron una clase de operadores no locales determinados por funciones radiales y resolvieron el problema de Cauchy asociado. Además, asociaron un proceso de Markov a cada operador y estudiaron el problema relacionado de la primera vuelta. Este problema fue estudiado primero en dimensión uno por Avetisov, Bikulov y Zubarev [2]. Luego los autores trataron el mismo problema en dimensiones 2, 3 y 4 para formas elípticas [18, 19, 20, 21].

En este artículo, introducimos una clase de operadores en dimensión arbitraria, que a diferencia de la introducida en [17], está determinada por funciones no radiales e incluye los operadores elípticos estudiados en [12, 19, 22] (véase la definición 3.2). También resolvemos el problema de Cauchy para las ecuaciones maestras adjuntas a estos operadores (véase el teorema 4.6). Además, adjuntamos a cada uno de estos operadores un proceso de Markov (paseo aleatorio) que está acotado y no tiene discontinuidades que no sean saltos (véase el teorema 5.8). Por último, estudiamos el problema del primer tiempo de paso (véase el teorema 6.9).

El artículo está organizado como sigue: En la sección 2 revisamos las nociones básicas del análisis p-ádico, y en la sección 3 introducimos un nuevo tipo de operadores no locales.