Existence of local and global solution for a spatio-temporal predator-prey model

Existencia de una solución local y global para un modelo depredador-presa espacio temporal

En este artículo demostramos la existencia y la unicidad de soluciones débiles para una especie de sistema Lotka-Volterra, mediante el uso de técnicas de linealización sucesiva. Este enfoque tiene la ventaja de tratar dos ecuaciones por separado en cada paso iterativo. Bajo condiciones iniciales adecuadas, construimos una región invariante para mostrar la existencia global en el tiempo de soluciones para el sistema. Mediante encajamientos de Sobolev y resultados de regularidad, encontramos estimaciones para las poblaciones de depredadores y presas en normas apropiadas. Para demostrar las propiedades de convergencia del método introducido, se presentan varios ejemplos numéricos.

INTRODUCCIÓN

Este trabajo se ocupa de una variante especial de evolución del sistema depredador-presa con condiciones de contorno de Neumann homogéneas

u_t - d₁∆u = f (u, v)

                                 en Ω_T,

v_t - d₂∆v = g (u, v)

∂ u/∂ η = 0, ∂ v/∂ η = 0 en ∂ Ω × [0,T ),

                                                          (1)

u(x, 0) = u₀(x), v(x, 0) = u₀(x) en Ω,

donde Ω es un subconjunto abierto y acotado de Rⁿ, y Ω_T:= Ω × [0,T ).

Las funciones f (u, v) y g (u, v) describen la interacción entre las densidades de presa y depredador u y v respectivamente. Vienen dadas por

f (u, v) = u(a₁ - b₁u) - c₁ uv       (2)

y

g (u, v) = c₂uv - a₂v.                 (3)

Los parámetros d₁ y d₂ miden la tendencia a la dispersión de cada población, a₁ es la tasa de natalidad de las presas, a₂ es la tasa de mortalidad de los depredadores, b₁ es la tasa de decaimiento de las presas debido a la competencia entre ellas por los recursos limitados, y c₁ y c₂ son medidas del efecto de la interacción entre las dos especies. La concentración máxima de presas en ausencia de depredadores (es decir, la capacidad de carga del entorno) es γ := a₁/b₁. Suponemos que todos estos parámetros son positivos.

La interacción de las poblaciones de depredadores y presas con un crecimiento logístico de las mismas, sin considerar ninguna variación espacial en la densidad de las poblaciones, ha sido bien estudiada en [1] y [2]. Respecto a la solvencia del sistema depredador-presa espacialmente extendido (1) se han propuesto varias técnicas. En [3] y [4] se estudia la existencia de soluciones de onda viajera y se dan algunas posibles implicaciones biológicas. En [5], los autores emplean el teorema de la función implícita y la teoría espectral para mostrar la existencia y unicidad de las soluciones positivas de estado estacionario de un modelo de reacción-difusión de dos especies en competencia con término de advección bajo la condición de contorno de Dirichlet.