Product of deferred Cesàro and deferred weighted statistical probability convergence and its applications to Korovkin-type theorems

Producto de Cesàro diferido y ponderado diferido convergencia de la probabilidad estadística y sus aplicaciones a teoremas de tipo Korovkin

En el presente trabajo, introducimos y estudiamos la noción de convergencia de probabilidad estadística para secuencias de variables aleatorias, así como la idea de convergencia estadística para secuencias de números reales, que se definen sobre un espacio de Banach a través del producto de Cesàro diferido y de la sumabilidad ponderada diferida. En primer lugar, establecemos un teorema que presenta una conexión entre ambos. Basándonos en nuestros métodos propuestos, demostramos entonces una teorema de aproximación de tipo Korovkin con funciones de prueba algebraicas para una secuencia de variables aleatorias en un espacio de Banach, y demostramos que nuestro teorema extiende y mejora efectivamente la mayoría (si no todos) de los resultados previamente existentes (tanto en versiones clásicas como estadísticas). Además, se presenta aquí un ejemplo ilustrativo mediante la operadores generalizados de Meyer-König y Zeller de una secuencia de variables aleatorias para demostrar que nuestro teorema establecido es más fuerte que sus versiones tradicionales y estadísticas. Por último, estimamos la tasa de convergencia del producto de Cesàro diferido y de la probabilidad estadística ponderada diferida, y en consecuencia establecemos un nuevo resultado.

INTRODUCCIÓN Y MOTIVACIÓN

La evolución gradual de la convergencia de los espacios de secuencias ha llevado al desarrollo de un bello concepto conocido como "convergencia estadística", que fue introducido por primera vez de forma independiente por dos eminentes matemáticos, Fast [1] y Steinhaus [2]. Es más importante que la convergencia habitual porque la convergencia tradicional de una secuencia requiere que casi todos los elementos satisfagan la condición de convergencia, es decir, cada elemento de la secuencia tiene que estar en alguna vecindad (arbitrariamente pequeña) del límite. Sin embargo, esta restricción se relaja en la convergencia estadística, donde el conjunto que tiene unos pocos elementos que no están en la vecindad del límite se descarta con la condición de que la densidad natural del conjunto sea cero, y al mismo tiempo la condición de convergencia es válida para la otra mayoría de los elementos. En realidad, una raíz de la noción de convergencia estadística fue discutida por Zygmund (véase [3, p. 181]), donde utilizó el término "casi convergencia", que resultó ser equivalente al concepto de convergencia estadística. También encontramos estos conceptos en la teoría de grafos aleatorios (véase [4, 5]) en el sentido de que casi convergencia significa convergencia con probabilidad 1, mientras que en la convergencia estadística la probabilidad no es necesariamente 1. Matemáticamente, una secuencia de variables aleatorias {X_n} es estadísticamente convergente en probabilidad (converge en probabilidad) a una variable aleatoria X si lim_n→∞ P(|X_n - X| = ϵ) = 0, para todo ϵ > 0 (arbitrariamente pequeño); y casi convergente a X si P(lim_n→∞ X_n = X) = 1.