Programación avanzada con Derive®. Aplicaciones al álgebra lineal

Advanced programming with Derive®. Applications to linear algebra

En este artículo, el autor logra construir una serie de procedimientos que permiten resolver seis problemas prácticos pero a la vez de suma utilidad en Álgebra Lineal y sus aplicaciones. Aprovechando la enorme versatilidad que ofrece el programa de álgebra computacional DERIVE®, y las ideas que aportan algunos métodos de demostración de estas propiedades, logra un equilibrio entre la síntesis y la eficiencia de dichos programas.

En muchas ocasiones nos vemos limitados para presentar ejemplos interesantes en Álgebra Lineal porque resulta difícil construirlos, no sólo por el cúmulo de operaciones aritméticas que conllevan, sino también por la misma dificultad desde el punto de vista teórico que implican estas construcciones. Ejemplos que corroboran lo que aquí se afirma pueden ser, el generar manualmente matrices no singulares con coeficientes enteros de tal forma que su inversa también tenga coeficientes enteros, o construir matrices que no sean triangulares y que tengan unos valores propios que requiera el usuario.

Estos y otros problemas son los que pretendo resolver mediante unos archivos que he construido empleando el programa de álgebra computacional DERIVE® y que pueden ser utilizados tanto en las versiones para Windows como para DOS.

PRIMER PROBLEMA

Construir una función que permita generar aleatoriamente matrices no singulares de cualquier orden, de tal forma que sus inversas también sean invertibles.

Para ello, permitimos de una "matriz semilla", triangular superior que tenga sobre la diagonal 1 o -1, y que genere aleatoriamente los números por encima de la diagonal.

MT (n): =VECTOR(VECTOR(IF(i

Se construye una función FI tal que, dada una matriz v permita sumar la fila j multiplicada por un escalar α a la fila i.

FI(v, i, j, α):= VECTOR(IF(m=i, v1+ α vs, EL(v,m)), m, 1, DIMENSION(v))

Siendo:

EL(v,m):= ELEMENT(v,m)

Empleando la traspuesta de una matriz, se construye a partir de la función FI la función FC tal que, dada una matriz v permite sumar la columna j multiplicada por un escolar a la columna i.

FC(v,i,j,α): = FI(v´,i,j,α)´