Un programa para calcular las representaciones irreducibles de SN, en la forma seminormal de Young 1 matemática computacional como apoyo a la docencia

A program for computing irreducible representations of SN, in the seminormal form of young 1 computational mathematics in support of teaching

Las matrices de las representaciones irreducibles de un grupo G se usan para el cómputo de la Transformada Generalizada de Fourier de una función definida en G. Existen muchas otras aplicaciones para las representaciones irreducibles de un grupo. Nosotros elaborarnos un software que calcula las matrices de las representaciones irreducibles del grupo simétrico en la forma serninormal de Young. Este programa corre en el Sistema Algebraico Computacional CoCoA. 

INTRODUCCIÓN

El cómputo explícito de las representaciones irreducibles de un grupo finito es necesario para desarrollar ciertas aplicaciones de la teo ría de grupos. Probablemente el ejemplo más conocido sea el desarrollo de algoritmos rápidos para el cálculo de la transformada de Fourier y en particular, algoritmos como el de Cooley Tukey. También el análisis estadístico de datos obtenidos por ejemplo, en en cuestas de preferencia, hace uso de las representaciones de los grupos simétricos, en el cálculo de la transformada generalizada de Fourier o transformada de Wedderburm, para una función definida sobre un grupo G.

Estas transformadas han sido bien estudia das, y en el caso que el grupo sea cíclico o diádico, dichas transformadas se conocen como la transformada discreta de Fourier y la transformada de Haddamard-Walsh respectivamente.

Si G es conmutativo, las representaciones irreducibles de G son los caracteres de G, es decir, son homomorfismos definidos sobre G de valor complejo. En particular, si G = Z = (x) el grupo cíclico de orden n, G tiene n representaciones irreducibles de dimensión 1 (homomorfismos de G en e·) dados por pj(xk)=ωnkj, ∀k,j,0≤k, j≤ n-1, ωn=e2πn (1.1)

Si fes una función definida sobre Z 0 y denotamos por xj=f (xi),la transformada de Fourier para f en la representación pj está dada por,

f(j)^n-1∑_k=0f(x^k)ρ_j(x^k)    (1.2)

=^n-1∑_k=0x_kω_n^kj

que la podemos interpretar como la multiplicación

donde F_n^jX^T

F_n^j=[ω_n^j0ω_n^j1...ω_j^n(n-2)ω_j^n(n-2)]

y  X=[x₀x₁...x_n-1]

Luego el cálculo de la transformada de Fourier de f en todas representaciones irreducibles de Z_n equivale a la multiplicación matriz-vector

F_nX