Representaciones del grupo simétrico con matrices enteras

Representations of the symmetric group with integer matrices

La representación de grupos de simetría es uno de los ternas en álgebra abstracta con más aplicaciones en la actualidad. El análisis espectral en diseño de experimentos, el diseño de redes de comunicación, la teoría de códigos, son algunos de los campos en donde esta teoría encuentra aplicación. A pesar de su utilidad, no siempre se encuentra a disposición del profesor y del estudiante una herramienta didáctica que le permita hacer ejemplos, cómputos y comprobaciones de los enunciados teóricos y se tiene que conformar con los ejemplos triviales que no le permiten ver realmente el grado de profundidad del concepto ni la complejidad del cálculo. El propósito de la siguiente nota es presentar un programa computacional para el sistema computacional CoCoA y en particular, ciertas rutinas que permiten calcular las representaciones irreducibles de los grupos de simetría en forma matricial, cuyas matrices tienen sus entradas enteras. 

INTRODUCCIÓN

Sea C el cuerpo de los números complejos, V un espacio vectorial complejo de dimensión n y G un grupo finito. Una representación de G en V es un homomorfismo de grupos

ρ: G→GL(V).

Es decir, ρ(kh) = ρ(k) ρ(h) para todos h, k ∈ G y GL(V) es el grupo de isomorfismos lineales de V. La dimensión de V se llama el grado de la representación. Dotando a V de una base, sabemos que GL(V) ≈ GL(n, C) el grupo de matrices invertibles de orden n x n.

Asociamos a cada representación ρ de G una acción de G sobre el espacio vectorial V así:

G x V→V

(g, v)→ρ(g)(v)

lo cual convierte a V en un G -espacio y extendiéndola linealmente, V se convierte en un CG-módulo, donde CG es el álgebra del grupo definida como

CG={∑_σ∈G a_σ σ:a_σ ∈ C}

Recíprocamente, cada CG-módulo V induce una representación compleja de G en V. Por lo tanto, para determinar una representación de un grupo G en un espacio V es suficiente determinar una acción de G sobre los elementos de una base de V o lo que es lo mismo, hallar las matrices asociadas a dicha acción.

Sobre el cuerpo de los complejos, las representaciones de un grupo finito se dividen en reducibles e irreducibles. Se sabe además que toda representación se puede expresar como suma directa de representaciones irreducibles y además si Ges conmutativo sus representaciones irreducibles son de grado 1.

Una representación ρ de G en V se dice irreducible, si dado W un subespacio de V tal que

ρ(g)(W)⊆, ∀g∈ G,

entonces W = 0 ó W = V. Es decir, como CG-­módulo V es simple.